小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第22讲双变量问题知识梳理破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.必考题型全归纳题型一：双变量单调问题例1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【解析】（1）当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．（2），的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．例2．（2024·安徽·校联考三模）设，函数.（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）的定义域是..（1）当时，，的定义域内单增；（2）当时，由得，.此时在内单增，在内单减；（3）当时，，的定义域内单减.（Ⅱ）因为，所以，.此时.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.不妨设，则，即，即恒成立.令，，则在内单减，即.，，.而，当且仅当时，取得最小值，所以，故实数的取值范围是.例3．（2024·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）（）①当时，故在上单调递增；②当时，故在上单调递减；③当时，令解得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则当时；当时，故在上单调递减；在上单调递增；综上所述：当时，故在上单调递增；当时，故在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增．（II）由（Ⅰ）知当时故在上单调递增；对任意即令因为所以在上单调递增；所以即在上恒成立故令则又因为所以>1当且仅当时取等号，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故不等式恒成立的条件是即.所以，实数的取值范围为.变式1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，将代入的解析式，得，求导得．当时，，故在上单调递增；当时，令，得．所以当时，，当时，，于是在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）当时，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为，所以不等式可化为，所以对任意的恒成立，所以函数为上的减函数，所以在上恒成立，可得在上恒成立，设，则，令，得．所以当上单调递增，在区间上单调递减，所以，得．所以实数的取值范围为．变式2．（2024·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明；(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得：定义域为，；当时，，，在上恒成立，在上单调递增；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知：；要证，只需证，即证；设，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；又，，即.（3）不妨设，则由得：，即，令，则在上单调递增，在上恒成立，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即，又，；令，则，令，解得：（舍）或，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，解得：；的取值范围为.题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例4．（2024·全国·高三专...