小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第25讲函数的零点问题知识梳理1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.必考题型全归纳小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com题型一：零点问题之一个零点例1．（2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数,.（1）求函数的单调递减区间；（2）设，.①求证：函数存在零点；②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）由题可知，定义域为.则，令，解得（舍）或，故可得在单调递减.（2），①由题可知.令，则其.⒈当时，，故在上单调递减.又因为，故在区间上一定有一个零点；⒉当时，，令，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得，令，故可得，故在区间上单调递增；令，故可得或，故在，单调递减.又，故可得，又因为，故在区间上一定有一个零点.⒊当时，，令，解得，显然存在零点.⒋当时，令，解得，故可得在区间单调递增；在单调递减.又因为，，故在区间上一定存在一个零点.综上所述，对任意的，一定存在零点.②由①可知，当时，在上单调递减.且只在区间上存在一个零点，显然不满足题意.当时，在单调递减，在单调递增，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在单调递减.且且在区间上一定有一个零点，不妨设零点为，则，故要存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立，只需，即，（ⅰ）整理得，.则上述方程在区间上根的个数，即为满足题意的的个数.不妨令,则，故方程（ⅰ）等价于.不妨令，故可得在区间上恒成立.故在区间上单调递增.又因为，故可得函数在区间上只有一个零点.则方程（ⅰ）存在唯一的一个根.即当时，有且仅有一个，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例2．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知函数，，在上有且仅有一个零点.(1)求的取值范围；(2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.【解析】（1），设，，①当时，若，则，在上无零点，不符合题意；②当时，若，则，∴在上单调递增，∴，∴在上无零点，不符合题意；③当时，若，则，∴在上单调递增， ，，∴存在唯一，使得.当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增， ，，故在上有且仅有一个零点，符合题意；小学、初中、高中各种...