小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第72讲垂直弦问题知识梳理1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点必考题型全归纳题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点例1．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点，动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【解析】（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时，设，则，，由，所以，故；②当点P不在x轴上时，在△PAB中，所以，∴，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方程为：且；由①②知：动点P的轨迹C的方程为：；（2）显然两直线斜率存在，设AP：y=kx+1，代入椭圆方程得，所以，代替k同理可得，直线PQ：，化简得；令x=0，得，故直线PQ过定点.例2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程及离心率；(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值.【解析】（1）由题意得：，故可知椭圆方程为：，离心率为：（2）M，D分别为椭圆C的左､右顶点又由（1）可知：设直线AB的方程为：，，联立方程可得：有韦达定理可知：，又小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又展开后整理得：，解得：或（舍去）直线恒过定点令则由对勾函数的单调性可知：所以，当且仅当，即时取等号此时的最大值为：例3．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知为圆上一动点，过点小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com作轴的垂线段为垂足，若点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得，设点，则点，因为，所以，则，因为点在圆上，所以，则，即，所以点轨迹方程为.（2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线，联立，得，设直线与曲线两交点的坐标分别为，则，；直线，同理可得：，设直线与轴交于点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则当直线斜率存在时，由得，，即直线恒过点；当直线斜率不存在时，由得，则，则直线恒过点；②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过，综上：直线恒过点在以中点为圆心，为直径的圆上，取，则为定值；存在点，使得为定值.变式1．（2024·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．【解析】（1）由椭圆方程可知：，，所以右焦点坐标，该椭...