小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第41讲等差数列及其前n项和知识梳理知识点一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．（2）等差中项若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．知识点二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．知识点三．等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．（1）通项公式的推广：．（2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则．（3），…仍是等差数列，公差为．（4），…也成等差数列，公差为．（5）若，是等差数列，则也是等差数列．（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．（7）若项数为偶数，则；；．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（8）若项数为奇数，则；；．（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系．数列是等差数列⇔（为常数）．知识点五．等差数列的前n项和的最值公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值；公差为常数列．特别地若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．知识点六．其他衍生等差数列．若已知等差数列，公差为，前项和为，则：①等间距抽取为等差数列，公差为．②等长度截取为等差数列，公差为．③算术平均值为等差数列，公差为．【解题方法总结】（1）等差数列中，若，则．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）等差数列中，若，则．（3）等差数列中，若，则．（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．必考题型全归纳题型一：等差数列的基本量运算例1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（）A．1012B．1013C．2022D．2024【答案】A【解析】因为，所以，两式相减，得：，所以数列中的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，所以.故选：A.例2．（2024·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为，则，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得，，所以．故选：D.例3．（2024·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（）．A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】由题设，则，而，若等差数列公差为，则，所以，通项公式为，故.故选：C变式1．（2024·江西新余·统考二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】由可得：①，由可得：②，由①②可得：或(舍去).故选：A.变式2．（2024·广西·统考模拟预测）设为等差数列，若，则公差（）A．－2B．－1C．1D．2【答案】D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】由题意得解得，故选：D.变式3．（2024·山西·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（）A．30B．28C．26D．13【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，，，所以.故选：C【解题方法总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．题型二：等差数列的判定与证明例4．（2024·福建福州·福...