小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第21讲极值点偏移知识梳理1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在x=x0处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为M(x1+x22,b)，而往往x0≠x1+x22。如下图所示。图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f(x)的解分别为x1、x2，且a<x1<x2<b，（1）若x1+x22≠x0，则称函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0偏移；（2）若x1+x22>x0，则函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0左偏，简称极值点x0左偏；（3）若x1+x22<x0，则函数y=f(x)在区间小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(x1,x2)上极值点x0右偏，简称极值点x0右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.必考题型全归纳题型一：极值点偏移:加法型例1．（2024·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数，(1)若，求的单调区间；(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．例2．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点、，证明.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例3．（2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点；②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：.变式1．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点．(1)求实数的值；(2)若存在，使得，求证：．变式2．（2024·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，a为实数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：变式3．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．变式4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的极值点的个数；(2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com变式5．（2024·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知...