小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第36讲平面向量的数量积及运算知识梳理知识点一．平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．知识点二．数量积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．知识点三．数量积的性质小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系（当且仅当时等号成立）知识点五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com是另一与垂直的非零向量时，有，但．（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且【解题方法总结】（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com不一定相等．必考题型全归纳题型一：平面向量的数量积运算例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A．6B．8C．10D．14【答案】B【解析】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.例2．（2024·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，所以，所以，则为等边三角形，因为，所以，设点M为BC的中点，则，所以，所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，所以，同理可得点AB，AC的中线过点G，所以点G为的重心，故，在等边中，M为BC的中点，则，所以.故选：A小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（）A．1B．12C．或2D．或1【答案】D【解析】由题意单位向量，且，可知与的夹角为，因为，所以或，故当时，；当时，，故选：D.变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免...