小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第38讲向量中的隐圆知识梳理技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：⃗PA⋅⃗PB=λ定理：平面内，若A,B为定点，且⃗PA⋅⃗PB=λ,则P的轨迹是以M为圆心√λ+14AB2为半径的圆证明：由⃗PA⋅⃗PB=λ，根据极化恒等式可知，PM2−14AB2=λ，所以PM=√14AB2+λ，P的轨迹是以M为圆心√λ+14AB2为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：PA2+PB2=λ定理：若A，B为定点，P满足PA2+PB2=λ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，√λ−12AB22为半径的圆。(λ−12AB2>0)证明：PA2+PB2=2[PM2+(12AB)2]=λ，所以PM=√λ−12AB22，即P的轨迹是以AB中点M为圆心，√λ−12AB22为半径的圆．技巧三．定幂方和型若A，B为定点，{mPA2+PB2=n¿{PA2+mPB2=n¿¿¿¿，则P的轨迹为圆．证明：mPA2+PB2=n⇒m[(x+c)2+y2]+[(x−c)2+y2]=n⇒(m+1)(x2+y2)+2c(m−1)x+(m+1)c2−n=0⇒x2+y2+2(m−1)cm+1⋅x+c2(m+1)−nm+1=0．技巧四．与向量模相关构成隐圆小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com坐标法妙解必考题型全归纳题型一：数量积隐圆例1．（2024·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8.其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，因为，所以设，则，，所以，所以，即（为任意角），所以（其中），所以的最大值为，最小值为，所以①③错误，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为，所以（其中）因为，所以，所以，所以的最小值为，最大值为14，所以②正确，④错误，故选：A例2．（2024·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】D【解析】由题知，以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，由题意设，则，，，，，可得.故选：D例3．（2024·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，以直角顶点为原点，射线分别为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，令角的始边为射线，终边经过点，由，得，而，于是，因此，其中锐角由确定，显然，则，所以的取值范围是.故选：D变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】A【解析】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，则.又为圆O上的点P到D的距离，则，∴的最小值为.故选：A.变式2．（2024·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则、、，设点，，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.【答案】/【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，设的中点为S，连接，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，又为直角三角形，所以，故①，设，则由①可得，整理得：，从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，显然点P在该圆内部，所以，因为，所以；解法2：如图，因为,所以，故四边形为矩形，由矩形性质，，所以，从而，故Q点的轨迹是以...