小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点04基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．【知识点】1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．【核心题型】题型一利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征活形，配出、和常的形式，然后再利用基本不等式．灵变凑积为数(3)件最的求解通常有三方法：一是配法；二是件活形，利用常条值种凑将条灵变数“1”代的方法；三是消元法．换命题点1配凑法小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【例题1】（2024·辽宁·一模）已知，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：A.【变式1】故选：D（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是.【答案】【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为为正实数，故，即，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当且仅当，即，此时，所以的最小值为.故答案为：【变式2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函的最小值为m．(1)求m的值；(2)若a，b为正数，且，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）讨论去绝对值，将转换为分段函数，求最小值.（2）原式平方后，运用基本不等式求得最大值.【详解】（1） ，∴当时，，当时，，当时，，∴，即.（2）由（1）可得，∴，因为，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以的最大值为，当且仅当，即时，等号成立．综上所述：最大值为.【变式3】（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（）A．B．C．D．或【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【详解】，又，所以，所以，当且仅当，即，或取等号，所以或.命题点2常数代换法【例题2】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】因为，所以，因为，，所以.当且仅当，即时取等.故选：C.【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：A小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求解；C选项，可以举出反例；D选项，设，，利用三角恒等变换得到.【详解】A选项，，当且仅当，即时，等号成立，A错误；B选项，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，B正确；C选项，当时，满足，此时，C错误；D选项，，设，其中，则，因为，所以，故，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com显然取不到最小值25，D错误.故选：B【变式3】（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答...