小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..............................................1二、典型题型..............................................2题型一：等差型.........................................2题型二：无理型.........................................5题型三：指数型.........................................9题型四：通项裂项为“”型............................13三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练...............18一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型①1n(n+k)=1k(1n−1n+k)特别注意k=1,1n(n+1)=1n−1n+1;k=−1,1n(n−1)=1n−1−1n②如：14n2−1=12(12n−1−12n+1)（尤其要注意不能丢前边的12）类型二：无理型小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①1√n+k+√n=1k(√n+k−√n)如：类型三：指数型①如：类型四：通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.二、典型题型题型一：等差型1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)【分析】（1）由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式；（2）求出，由裂项相消法可求出数列的前项和.【详解】（1）因为，令得，因为，所以，两式相减得，即．所以，所以，即，所以当时，，又，所以．（2）由（1）可得，所以.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列；(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设出数列的公差，再由已知列出方程组，求出即可得解.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算推理即得.【详解】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，，由恒成立，得数列单调递增，因此，所以.3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求证：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求的通项公式，进而求出的通项公式；（2）根据累乘法求出，再求出，根据的通项公式特征，采用裂项法求其前项和，求单调性并求其范围即可求出的范围．【详解】（1）因为，，两边同时除以可得：，从而，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则；（2）由，，所以，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，所以则，因为中的每一项，所以为递增数列，所以，因为，所以，即实数的取值范围为.4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列满足.(1)证明：为等差数列；(2)若数列的前项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）对递推公式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可证明；（2）根据（1）中所证求得，再根据裂项求和法求得，进而适度放缩即可证明.【详解】（1）证明：因为，所以，即.因为，所以是首项为2，公差为3的等差数列.（2）由（1）可知，所以.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为，所以.因为，所以，故.题型二：无理型1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，且，求；(3)证明：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求出结果；（2）根据（1）得到，再利用裂项相消法，即可求出结果；（3）利用，即可证明结果.【详解】（1）因为①，当时，②，所以①②得到，即，小学、初...