小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题11数列不等式（典型题型归类训练）目录一、典型题型.......................................................................................1题型一：数列不等式恒成立...........................................................1题型二：数列不等式能成立（有解）问题....................................8二、专题11数列不等式专项训练.....................................................14一、典型题型题型一：数列不等式恒成立1．（23-24高二下·河南南阳·期中）记数列的前项和为，已知，且．(1)令，求数列的通项公式；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）分类讨论是奇数和偶数，利用递推公式计算即可；（2）先利用等差数列求和公式分组求和，再分离参数，令，判定其单调性，计算即可.【详解】（1）令，则①，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则②，②－①，得，又因为，所以可得，代入①式，得，所以．（2），其中，，所以．由，可得恒成立．设，则，当，即时，，当，即时，，所以，故，所以，即实数的取值范围为．2．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)求；(2)证明数列是等比数列并求；(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可.【详解】（1）因为，则，从而有，由，则，则，解得则有，所以；（2）由，则，所以，故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（3）由等比数列的前n项和公式得：，因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，，则，当时，，是减函数，当时，，是增函数，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又，且，，，则，当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；综上可知，.3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足：，且.设的前项和为，.(1)证明：是等差数列；(2)求；(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据等差数列的定义证明（2）由已知得，再通过错位相减法求解出；（3）不等式化简为，把问题转化为对恒成立，然后分别求出当、和时，t满足的条件即可【详解】（1）因为，所以，，且，所以是以-2为首项，且公差为1的等差数列，即.（2）由（1）知，，所以.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，于是，两式相减得，因此.（3）由，得，依题意，对恒成立，当时，，则；当时，不等式恒成立；当时，，则，于是，综上,实数的取值范围是.4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.(1)求证：为等差数列，并分别求的通项公式；(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)【分析】（1）利用已知关系可得，代入，化简可证为等差数列，从而求得，的通项公式；（2）由（1）得，利用裂项相消可得，利用数列的单调性求出，解不等式即可求出正实数的取值范围.【详解】（1）由题意知：当时，，代入得，所以.由，得，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，，当时，，当时，也符合上式，所以.（2）由（1）...