实数、数的开方知构识结模块一实数的概念和分类知精识讲食物天然气旅馆知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数；2)圆周率π是一个无理数．2、无理数也有正、负之分．如、、等这样的数叫做正无理数；、、这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数．例题解析3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类（2）按性质符号分类【例1】写出下列各数中的无理数：3.1415926，，，，0，，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【难度】★【答案】、0.1313313331…．【解析】无限不循环小数都是无理数．【总结】考查无理数的概念．【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）不带根号的数一定不是无理数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；（3）开方开不尽的数是无理数；（4）没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．【例3】a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【难度】★【答案】一样．【解析】a是非负无理数实质上就是说a是正无理数，因为0不是无理数．【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．【例4】若a+bx=c+dx（其中a、b、c、d为有理数，x为无理数），则a=c，b=d，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【难度】★★【答案】略．【解析】移项得：，因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤，从而，于是有：，当时，等式成立．【总结】考查有理数、无理数的运算性质．【例5】为什么是无理数?请说明理由．模块二：数的开方知精识讲【难度】★★★【答案】见解析．【解析】假设是有理数，则能写成两个整数之比的形式：，又因为p、q没有公因数可以约去，所以是最简分数．把两边平方，得，即．由于是3的倍数，则p必定是3的倍数．设，则，同理q必然也是3的倍数，设，既然p、q都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设是最简分数矛盾，故是无理数．【总结】考查对无理数的理解及证明．一、开平方：1、定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数．如，，的平方根是．说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算．3、算术平方根：正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开次方：1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数．例解析题2、如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根．3、当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根．★注意：1）实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数；2）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）；3）负数的偶次方根不存在；4）零的次方根等于零，表示为．【例6】写出下列各数的平方根：（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）；（2）．【解析】注意要先把题中给的算式化...