第三章函数与导数模块一函数的概念与性质第1节函数概念例4新增一个变式：【变式】已知函数()fx的定义域为R，()exyfx=+是偶函数，()3exyfx=−是奇函数，则()fx=.解析：给了两个与()fx有关的奇偶性条件，先用奇偶性的代数定义来翻译它们，建立关于()fx的方程，设()()exgxfx=+，()()3exhxfx=−，则由题意，()gx为偶函数，()hx为奇函数，所以()()()()gxgxhxhx−=−=−，故()e()e()3e()3exxxxfxfxfxfx−−−+=+−−=−+①②，要求的是()fx，故考虑用两式作差，消去()fx−，由①−②可得4e2()2exxfx−=−，所以()e2exxfx−=+.答案：e2exx−+第3节抽象函数问题新增一个例2：【例2】（2024·新课标Ⅰ卷（节选））已知函数3()ln(1)2xfxaxbxx=++−−．证明：曲线()yfx=是中心对称图形．证明：（没给对称中心，需要自己找到对称中心，再证明，怎么找？由于对称函数定义域必定也对称，故不妨先求定义域，从定义域出发寻找对称中心）由02xx−可得(2)0xx−，所以(2)0xx−，解得：02x，故()fx的定义域是(0,2)，（定义域关于1x=对称，那么曲线()yfx=的对称中心横坐标只能是1，故要证结论成立，接下来只需计算(2)()fxfx−+，得出其为与x无关的常数）332(2)()ln(2)(21)ln(1)2(2)2xxfxfxaxbxaxbxxx−−+=+−+−−+++−−−−3322ln(2)(1)ln(1)ln()2ln12222xxxxaxbxaxbxaaaxxxx−−=+−+−+++−=+=+=−−，所以曲线()yfx=关于点(1,)a对称.【反思】可以看到，这题反着考对称性，要我们猜测出对称情况，然后证明.此类题一般可从定义域出发寻找对称中心（或对称轴）.另外，本题也可从局部的3(1)bx−具有对称中心(1,0)，去猜测对称中心横坐标为1.类型Ⅲ：抽象函数赋值法新增了例5和例6【例5】函数()fx的定义域为R，且(21)fx+为偶函数，()(1)(2)fxfxfx=+−+，若(1)2f=，则(18)f=（）A．1B．2C．1−D．2−解析：(18)f离(1)f较远，猜想()fx有周期，故先尝试推周期，结合条件知应从()(1)(2)fxfxfx=+−+入手，此式有3项，不妨将x换成1x+，再构造一个式子，看能否消去一些项，因为()(1)(2)fxfxfx=+−+，所以将x换成1x+可得(1)(2)(3)fxfxfx+=+−+，两式相加得：()(1)(1)(3)fxfxfxfx++=+−+，化简得：(3)()fxfx+=−①，式①可看成自变量加3，函数值相反，若自变量再加3，则函数值再反一次，变回去了，周期就有了，在式①中将x换成3x+可得(6)(3)fxfx+=−+，结合式①得(6)()fxfx+=，所以()fx的周期为6，故(18)(0)ff=②，给的是(1)f，不是(0)f，怎么办呢？再看(21)fx+为偶函数这个条件，不妨用偶函数定义来翻译它，因为(21)fx+为偶函数，所以(2()1)(21)fxfx−+=+，故(12)(12)fxfx−=+③，为了产生目标(0)f，可两端同时取12x=，在③中取12x=可得(0)(2)ff=④，已知(1)f，只需建立一个关于(0)f，(1)f，(2)f的方程，就能结合式④求出(0)f.注意到三者的自变量刚好依次加1，故对()(1)(2)fxfxfx=+−+赋值，即可得到(0)f，(1)f，(2)f的方程，在()(1)(2)fxfxfx=+−+中取0x=可得(0)(1)(2)fff=−，结合④得(1)(0)12ff==，代入②得(18)1f=.答案：A【反思】①由()()(2)(0)fxfxafxaa=+−+能推周期，推导的方法与上述解析类似，可以得到()fx的周期为6a；②在综合了对称性、关系式的抽象函数求值问题中，赋值的常用思路是构造出已知和所求.【例6】函数()fx，()gx定义域均为R，且()(1)4fxgx+−=，()(3)2gxfx−−=.若(0)2g=，则131()ifi==（）A．10B．13C．14D．39解析：所求为()fx的部分函数值之和，故考虑消去已知条件中与()gx有关的部分，得到()fx的性质，在()(3)2gxfx−−=中将x换成1x−可得(1)(2)2gxfx−−+=，所以(1)(2)2gxfx−=++，代入()(1)4fxgx+−=可得()(2)24fxfx+++=，所以()(2)2fxfx++=①，有了式①，我们发现可将131()ifi=按自变量相差2的两项组合，共13项，会剩下一项，怎么办呢？注意到条件中还有(0)2g=，故尝试用它单独求出()fx的一项，可在所给等式中将(0)g构造出来再看，在()(1)4fxgx+−=中取1x=可得(1)(0)4fg+=，所以(1)4(0)422fg=−=−=②，故131()(1)[(2)(4)][(3)(5)][(6)(8)][(7)(9)][(10)(12)][(11)(13)]ififffffffffffff==++++++++++++，结合①②可得131()222222214ifi==++...