小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第01讲二次根式的概念及性质易错点二次根式的概念重点是二次根式的性质难点是分母有理化的应用模块一：二次根式的概念1、二次根式的概念（1）代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即有意义的条件是．【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，，，，，，（）．【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式．【解析】根据二次根式的概念，可知上述几个为二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【例2】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？（1）；（2）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】（1）任意实数；（2）．【解析】（1）恒成立，可知为任意实数；（2），当且仅当，即时该式可以成立．【例3】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？（1）；（2）；（3）．【答案】（1）或；（2）；（3）且．【解析】（1），即，故或，解得或；（2）且，即得，解得；（3）由且．【例4】已知实数，满足，求的值．【答案】0．【解析】根据二次根式有意义的条件，由，可得，由题意移项即得：，根据二次根式本身的非负性，可得，由此可求得：，=．【总结】考查二次根式的双重非负性，即被开方数非负，式子本身表示算术平方根非负．模块二：二次根式的性质1、二次根式的性质（1）与的关系：．（2）二次根式的性质：性质1：；性质2：；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com性质3：（，）；性质4：（，）．（3）化简二次根式：与相等吗？利用二次根式的性质3和性质1，可得：；一般地，设，，那么；与相等吗？利用分数的性质以及二次根式的性质4和性质1，可得：；一般地，设，，那么；化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”．通常把形如（）的式子也叫做二次根式，如，，等也是二次根式．【例5】计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．【答案】（1）18；（2）；（3）；（4）0；（5）14；（6）；（7）；（8）；（9）．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方．【总结】考查二次根式的性质2．【例6】化简以下二次根式：（1）；（2）；（3）（）．【答案】（1）；（2）；（3）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】（1）；（2）由二次根式非负性得，所以，则：；（3）由二次根式非负性得，又，所以，则：．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质4和性质1，注意先根据式子确立相关未知数的正负情况．【例7】化简：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由二次根式非负性，结合，可得，原式=；（2）由二次根式非负性，即有，可得，原式=；（3）原式=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质．【例8】在中，是三角形的三边，化简．【答案】．【解析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知，，原式=．【总结】三角形三边关系往往是题目中的隐含条件，该应用的地方一定要注意好．一、单选题1.（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考阶段练习）若m，n为任意实数，则下小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com列各式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质把各个选项进行化简，判断即可．【详解】解：A、，故不成立，不合题意；B、，故成立，符合题意；C、，故不成立，不合题意；D、，故不成立，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．2.（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考阶段练习）若...