数论综合之代数思想与枚举验证1位值原理1．位值原理数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理值原理。位值原理的表达形式：以六位数为例：以六位数为例：×100000+b×10000+×1000+d×100+×10+fabcdef＝a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f2．短除模型如果(A,B)=m，且A=ma,B=mb，a、b互质，则A、B的最小公倍数为mab。可得，最大公因数与最小公倍数的基本关系：⑴A×B=ma×mb=m×mab⑴即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积。等于这两个数的积。⑵最大公因数是A、B、A+B、A－B及最小公倍数的因数。3．因数个数定理指数加1连乘指数加1连乘【例1】(★★)求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。【例2】(★★)设a，b是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对(a，b)共有________组。1【例3】(★★★)已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。【例4】(★★★)已知A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A，B]＝1728，则B＝______。【例5】(★★)2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是哪些？【例6】(★★★)a，b，c分别是0到9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？几？2【例7】(★★★)求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方。【例8】(★★★★)如个非零自然数能表成个非零自然数的方差的式如果一个非零自然数能表示成两个非零自然数的平方差的形式，则称这个自然数为“智慧数”，比如16就是一个“智慧数”在自然数列中从1开221653比如，16就是一个智慧数。在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由。1653【例9】(★★★)如果(a+2b)被5除余数为2，(3a-b)被5除所得的余数为3，求证：(a-b)能被5整除。(a、b都是自然数)1位值原理一、本讲重点知识回顾1．位值原理2.短除模型：如果(A,B)=m，且A=ma,B=mb，a、b互质，则AB的最小公倍数为b则A、B的最小公倍数为mab。3.因数个数定理：指数加1连乘4必会方法枚举代数表示与运算4.必会方法：枚举，代数表示与运算二、本讲经典例题例1例3例6例8例9例1，例3，例6，例8，例93