板块一函数与导数微专题2基本初等函数、函数零点高考定位1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型；2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.【真题体验】1.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a√由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c，选B.√y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f22，b＝f32，c＝f62，则A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.且f(x＋2)＝e－(x－1)2，f(－x)＝e－(x－1)2＝e－(x－1)2，则f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f62＝f2－62，又22<2－62<32<1，所以f22<f2－62<f32，所以b>c>a，故选A.√3.(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝S－1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则A.3N2＝2N1B.2N2＝3N1C.N22＝N31D.N32＝N21由题意，得S－1lnN1＝2.1，S－1lnN2＝3.15.若S不变，则2.1lnN1＝3.15lnN2，即2lnN1＝3lnN2，所以N21＝N32.√由题意知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，即cosx＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cosx－a(x2＋1)＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选D.4.(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝A.－1B.12C.1D.2精准强化练热点一基本初等函数的图象与性质热点二函数的零点热点三函数模型及其应用热点突破热点一基本初等函数的图象与性质1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，12，－1五种情况.例1√(1)(2024·武汉调研)在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝a－1x(a>0，且a≠1)的图象可能是因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故选项A，B错误.当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，而y＝a－1x(a>1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正确.√(2)(多选)(2024·福州名校联考)已知函数f(x)＝4x＋14x＋2，则下列说法正确的是A.f(x)在(－∞，0)上单调递增B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于点(0，1)对称D.不等式f(x＋1)<254的解集是(－2，0)√对于A，当x<0时，f′(x)＝4xln4－14xln4＝(4x－4－x)ln4<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，f(－x)＝4－x＋14－x＋2＝14x＋4x＋2＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，故B正确；对于C，因为f(x)＋f(－x)＝24x＋14x＋4>2，故函数f(x)的图象不关于点(0，1)对称，故C错误；对于D，由f(x＋1)＝4x＋1＋14x＋1＋2<254，得(4x＋1)2－174·4x＋1＋1<0，则14<4x＋1<4，可得－1<x＋1<1，解得－2<x<0，因此不等式f(x＋1)<254的解集是(－2，0)，故D正确.故选BD.1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.规律方法(1)(2024·上饶六校联考)已知a＝log30.9，b＝0.30.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c训练1√由y＝log3x在(0，＋...