第1页高考一轮总复习•数学第6讲空间角与距离第八章立体几何第2页高考一轮总复习•数学复习要点能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单的夹角问题，能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．第3页高考一轮总复习•数学理清教材强基固本01重难题型全线突破02限时跟踪检测03第4页高考一轮总复习•数学理清教材强基固本第5页高考一轮总复习•数学一空间向量与空间角的关系1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝.其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是0，π2|a·b||a||b|第6页高考一轮总复习•数学2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝，φ的取值范围是0，π2.|e·n||e||n|第7页高考一轮总复习•数学3．求二面角的大小(1)如图1，AB，CD是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．〈AB→，CD→〉第8页高考一轮总复习•数学(2)如图2、图3，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]．第9页高考一轮总复习•数学二利用空间向量求空间距离1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP→＝a，则向量AP→在直线l上的投影向量AQ→＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP→|2－|AQ→|2＝.a2－a·u2第10页高考一轮总复习•数学2．点面距离的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.|AB→·n||n|第11页高考一轮总复习•数学常/用/结/论最小角定理：如，若图OA平面为α的一斜，条线O斜足，为OB为OA在平面α的内直线与平面所成的角是直线与平面内的直线所成一切角中最小的角．射影，OC平面为α的一直，其中内条线θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即面角，线θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.三余弦公式，由于cosθ2＜1，所以有cosθ＜cosθ1，由单调性得θ＞θ1.第12页高考一轮总复习•数学1．判断下列结论是否正确．(1)两条直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ＝cos〈u，n〉．()(3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．()√第13页高考一轮总复习•数学2．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：直设线l平面与α所成角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，又0°≤θ≤90°，故θ＝30°.答案解析第14页高考一轮总复习•数学3．已知A(1,2,0)，B(3,1,2)，C(2,0,4)，则点C到直线AB的距离为()A．2B.5C．23D．25解析：因为AB→＝(2，－1,2)，AC→＝(1，－2,4)，所以AC→在AB→方向上的投影量数为AB→·AC→|AB→|＝2＋2＋84＋1＋4＝4.点设C到直线AB的距离为d，则d＝|AC→|2－42＝1＋4＋16－16＝5.故选B.答案解析第15页高考一轮总复习•数学4．(2023·全乙卷，理国)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形．若二面角CABD为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25答案第16页高考一轮总复习•数学解析：如，取图AB的中点E，接连CE，DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜，有边则CE⊥AB，又△ABD是等三角形，边则DE⊥AB，而从∠CED二面角为CABD的平面角，即∠CED＝150°，然显CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，然平面显CDE∩平面ABC＝CE，直线CD⊂平面CDE，直则线CD在平面ABC的射影直内为线CE，解析第17页高考一轮总复习•数学而从∠DCE直为线CD平...