第1页高考一轮总复习•数学第11讲高考中圆锥曲线的综合问题第3课时定点、定值问题第九章解析几何第2页高考一轮总复习•数学重难题型全线突破01限时跟踪检测03第3页高考一轮总复习•数学重难题型全线突破第4页高考一轮总复习•数学题型定点问题典例1(2023·全乙卷，理国)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率为53，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(0，m)，N(0，n)，则m＋n2＝kAM＋kAN，又kAM＋kAN＝kAP＋kAQ＝y1x1＋2＋y2x2＋2，则需证明：kAP＋kAQ＝y1x1＋2＋y2x2＋2为定值．第5页高考一轮总复习•数学方法一：齐次化(斜率和问题)．方法二：定比点差法．设PQ→＝λBP→，即(x2－x1，y2－y1)＝λ(x1＋2，y1－3)，所以x1＝x2－2λ1＋λ，y1＝y2＋3λ1＋λ，代入4y21＋9x21＝36得4y2＋3λ1＋λ2＋9x2－2λ1＋λ2＝36，①又4y22＋9x22＝36，②①－②得4(6λy2＋9λ2)＋9(－4λx2＋4λ2)＝36(2λ＋λ2)，即2y2＋3λ－3x2－6＝0，所以y1x1＋2＋y2x2＋2＝y2＋3λ1＋λx2－2λ1＋λ＋2＋y2x2＋2＝2y2＋3λx2＋2＝3.第6页高考一轮总复习•数学(1)解：由题意可得4b2＝1，a2＝b2＋c2，e＝ca＝53，解得a＝3，b＝2，c＝5，所以椭圆方程为y29＋x24＝1.(2)证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ为y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程y＝kx＋2＋3，y29＋x24＝1，消去y并整理，得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，第7页高考一轮总复习•数学则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1728k>0，解得k<0，可得x1＋x2＝－8k2k＋34k2＋9，x1x2＝16k2＋3k4k2＋9，因为A(－2,0)，则直线AP为y＝y1x1＋2(x＋2)，令x＝0，解得y＝2y1x1＋2，即M0，2y1x1＋2，同理可得N0，2y2x2＋2，则2y1x1＋2＋2y2x2＋22＝kx1＋2＋3x1＋2＋kx2＋2＋3x2＋2＝[kx1＋2k＋3]x2＋2＋[kx2＋2k＋3]x1＋2x1＋2x2＋2第8页高考一轮总复习•数学＝2kx1x2＋4k＋3x1＋x2＋42k＋3x1x2＋2x1＋x2＋4＝32kk2＋3k4k2＋9－8k4k＋32k＋34k2＋9＋42k＋316k2＋3k4k2＋9－16k2k＋34k2＋9＋4＝10836＝3，所以线段MN的中点是定点(0,3)．第9页高考一轮总复习•数学求解直线或曲线过定点问题的策略第10页高考一轮总复习•数学对点练1(2024·广茂名五校考东联)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N，当AF→＝FB→时，|AN|＝22.(1)求抛物线C的方程；(2)当NA→·NB→＝1时，求证：直线AB过定点．第11页高考一轮总复习•数学(1)解：当AF→＝FB→时，AB⊥x轴且AB过点F，不妨设A在x轴上方，则Ap2，p，此时Mp2，0，N－p2，0，因为|AN|＝22，所以p2＋p22＋p2＝8，解得p＝2或p＝－2(舍去)，故抛物线C的方程为y2＝4x.第12页高考一轮总复习•数学(2)证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my＋n，M(x0，y0)，Ay214，y1，By224，y2，由y2＝4x，x＝my＋n，化简，得y2－4my－4n＝0，Δ＝16(m2＋n)>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，y0＝y1＋y22＝2m，N(－1,2m)，NA→＝y214＋1，y1－2m，NB→＝y224＋1，y2－2m，第13页高考一轮总复习•数学NA→·NB→＝y214＋1y224＋1＋(y1－2m)(y2－2m)＝y21y2216＋y1＋y22－2y1y24＋1＋y1y2－2m(y1＋y2)＋4m2＝n2＋16m2＋8n4＋1－4n－8m2＋4m2＝n2－2n＋1，若NA→·NB→＝1，则n2－2n＋1＝1，解得n＝0(舍去)或n＝2，所以直线AB过定点(2,0)．第14页高考一轮总复习•数学题型定值问题典例2(2024·广佛山考东联)已知P是圆C：(x＋2)2＋y2＝12上一动点，定点M(2,0)，线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，记点T的轨...