第1页高考一轮总复习•数学第4讲高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒成立或存在性问题第四章一元函数的导数及其应用第2页高考一轮总复习•数学重难题型全线突破01限时跟踪检测02第3页高考一轮总复习•数学重难题型全线突破第4页高考一轮总复习•数学题型分离参数法求参数范围典例1(2024·河南中模实验学拟)已知函数f(x)＝2x－sinx.(1)求f(x)的图象在点π2，fπ2处的切线方程；(2)对任意的x∈0，π2，f(x)≤ax，求实数a的取值范围．很容易实现参变分离a≥fxx.第5页高考一轮总复习•数学解：(1)因为fπ2＝π－1，所以切点坐标为π2，π－1，因为f′(x)＝2－cosx，所以f′π2＝2，所以所求切线的方程为y－(π－1)＝2x－π2，即2x－y－1＝0.(2)由f(x)≤ax，得2x－sinx≤ax，所以a≥2－sinxx，其中x∈0，π2，第6页高考一轮总复习•数学令h(x)＝2－sinxx，x∈0，π2，得h′(x)＝sinx－xcosxx2，求导的目的是搞清其符号，从而知道函数的单调性，但第一次求导并没直接判断出来．设φ(x)＝sinx－xcosx，x∈0，π2，提取分子为新函数.φ(x)再次求导，研究其性质，目的依然为说明φ(x)的符号．则φ′(x)＝xsinx＞0，所以φ(x)在0，π2上单调递增，第7页高考一轮总复习•数学所以φ(x)＞sin0－0×cos0＝0，所以h′(x)＞0，所以h(x)在0，π2上单调递增，h(x)max＝hπ2＝2－2πsinπ2＝2－2π，所以a≥2－2π，即a的取值范围为2－2π，＋∞.第8页高考一轮总复习•数学“分离参数法”解决不等式恒成立问题其实有时，不等式恒成立求参问题，若不能实现参变分离，也会采用函数法.f(λ，x)＞0恒成立⇔f(λ，x)min＞0，而这个最小值，则要带参讨论最值．“分离求最参数值”是解不等式恒成立求的取范的基本方法．其基本决参数值围问题程如下：过(1)已知含参数λ的不等式f(λ，x)>0恒成立．(2)不等式化将转为g(λ)>h(x)，即一端是参数λ，另一端是量表式变达h(x)．(3)求函数h(x)的最或域．可以用法、均不等式法、元法、性法等．值值导数值换单调(4)得出．例如于结论对g(λ)>h(x)，若h(x)的最大值为M，则g(λ)>M；若h(x)不存在最大，其域值值为(m，M)，时g(λ)≥M.第9页高考一轮总复习•数学对点练1已知函数f(x)＝12x2－(a＋2)x＋2alnx(a∈R)．(1)若a＞2，讨论函数f(x)的单调性；(2)设函数g(x)＝－(a＋2)x，若至少存在一个x0∈[e,4]，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数a的取值范围．第10页高考一轮总复习•数学解：(1)函数f(x)＝12x2－(a＋2)x＋2alnx的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x2－a＋2x＋2ax＝x－2x－ax.当a＞2时，由f′(x)＞0，得0＜x＜2或x＞a，由f′(x)＜0，得2＜x＜a，∴f(x)在(0,2)和(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减．(2)至少存在一个x0∈[e,4]，使得f(x0)＞g(x0)成立，即当x∈[e,4]时，12x2＋2alnx＞0有解． 当x∈[e,4]时，lnx≥1，∴2a＞－12x2lnx有解，第11页高考一轮总复习•数学令h(x)＝－12x2lnx，x∈[e,4]，则2a＞h(x)min. h′(x)＝－xlnx－12x2·1xlnx2＝－xlnx－12lnx2＜0，∴h(x)在[e,4]上单调递减，∴h(x)min＝h(4)＝－4ln2，第12页高考一轮总复习•数学∴2a＞－4ln2，即a＞－2ln2，∴实数a的取值范围为－2ln2，＋∞.第13页高考一轮总复习•数学题型等价转化法求参数范围典例2已知函数f(x)＝aln(x＋1)，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝3处的切线方程；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)≥x－12x2恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)，所以切点为(3，ln4)．因为f′(x)＝1x＋1，所以切线的斜率为k＝f′(3)＝14，所以曲线y＝f(x)在x＝3处的切线方程为y－ln4＝14(x－3)，化简得x－4y＋8ln2－3＝0.第14页高考一轮总复习•数学(2)对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)≥x－12x2恒成立，即aln(x＋1)－x＋12x2≥0恒成立．令h(x)＝aln(x＋1)－x＋12x2(x≥0)，为啥不分离参数呢？因为若两边同时除以ln(x＋1)后得到...