第1页高考一轮总复习•数学第4讲高考中的导数综合问题第2课时利用导数研究函数的零点第四章一元函数的导数及其应用第2页高考一轮总复习•数学重难题型全线突破01限时跟踪检测02第3页高考一轮总复习•数学重难题型全线突破第4页高考一轮总复习•数学题型函数零点个数的探究典例1已知函数f(x)＝axex＋sinx的图象在点(0，f(0))处的切线与y轴垂直．即f′(0)＝0.(1)求实数a的值；(2)讨论f(x)在区间(－π，π)上的零点个数．分别讨论在区间(－π，0)，0，π2，π2，π的零点情况．第5页高考一轮总复习•数学解：(1)f(x)＝axex＋sinx，则f′(x)＝a·1－xex＋cosx，由题意，得函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为0，即f′(0)＝a＋1＝0，得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－xex＋sinx，f(0)＝0，f′(x)＝x－1ex＋cosx，则f″(x)＝2－xex－sinx.当x∈(－π，0)时，2－xex＞0，sinx＜0，此时f″(x)＞0，f′(x)单调递增，二阶导数的符号，说明一阶导数的单调性．f′(x)＜f′(0)＝－1＋1＝0，故函数f(x)单调递减，f(x)＞f(0)＝0，故函数f(x)在(－π，0)上无零点．前面一段，主要叙述f(x)在(－π，0)上无零点.即x∈(－π，0)时，f(x)单调递减，f(x)＞0恒成立．第6页高考一轮总复习•数学当x∈(0，π)时，将f(x)变形得f(x)＝－xex＋sinx＝1ex(exsinx－x)，设F(x)＝exsinx－x，则F′(x)＝ex(sinx＋cosx)－1，设k(x)＝ex(sinx＋cosx)－1，其实x∈0，π2时，ex＞1，sinx＋cosx＞1，故知k(x)＞0无零点．则k′(x)＝2excosx，易知当x∈0，π2时，k′(x)＞0，当x∈π2，π时，k′(x)＜0，第7页高考一轮总复习•数学故k(x)在0，π2上单调递增，在π2，π上单调递减，又k(0)＝0，kπ2＝eπ2－1＞0，k(π)＝－eπ－1＜0，故存在x0∈π2，π，使k(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，k(x)＞0，F(x)单调递增；当x∈(x0，π)时，k(x)＜0，F(x)单调递减，又F(0)＝0，故F(x0)＞0，又F(π)＝－π＜0，故函数f(x)在(0，x0)上没有零点，在(x0，π)上有1个零点．综上所述，f(x)在区间(－π，π)上的零点个数为2.第8页高考一轮总复习•数学确定函数零点个数的方法(1)形合法：建函数结构数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，化确定转为g(x)的零点求解，利用究函的性、，确定定域端点的符个数问题导数研该数单调极值并义区间值号(或化变趋势)等，出画g(x)的象草，形合求解函零点的．图图数结数个数(2)利用函零点存在定理：先用定理判函在某上有零点，然后利用数该断数区间导数研究函的性、数单调极值(最值)及端点的符，而判函在上零点的．区间值号进断数该区间个数第9页高考一轮总复习•数学对点练1(2024·湖北武模汉拟)已知函数f(x)＝exx，g(x)＝tanx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，试判断F(x)在－π2，0∪0，π2内的零点个数．解：(1)函数f(x)＝exx的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝exx－exx2＝exx－1x2，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．第10页高考一轮总复习•数学(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝exx－tanx＝0，得xsinx－excosx＝0.设h(x)＝xsinx－excosx，所以h′(x)＝(ex＋1)sinx＋(x－ex)cosx.①当x∈－π2，0时，可知ex＞0＞x，则ex＞x，所以x－ex＜0，又sinx＜0，cosx＞0，所以h′(x)＜0，从而h(x)＝xsinx－excosx在－π2，0上单调递减，又h(0)＝－1，h－π2＝π2＞0，第11页高考一轮总复习•数学由零点存在定理及h(x)的单调性，得h(x)在－π2，0上有一个零点．②当x∈0，π4时，cosx≥sinx＞0，由(1)知函数f(x)＝exx在(0,1)上单调递减，所以x∈0，π4时，函数f(x)＝exx＞f(1)＝e＞1，则ex＞x＞0.所以excosx＞xsinx，则h(x)＝xsinx－excosx＜0恒成立．所以h(x)在0，π4上无零点．③当x∈π4，π2时，sinx＞co...
