2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）第02讲常用逻辑用语目录易混易错练3常用结论2知识梳理1考点分类练4最新模拟练51.充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的①条件，q是p的②条件p是q的③条件p⇒q且pqp是q的④条件p⇒q且p⇐qp是q的⑤条件p⇔qp是q的⑥条件p⇒q且q⇒p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要【知识梳理】2.全称量词与存在量词(1)全称量词与存在量词量词名称常见的量词表示符号全称量词所有的、一切、任意一个、每一个、任给等⑦存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有的、有些、对某些等⑧∀∃(2)全称量词命题与存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记⑨⑩否定∃x∈M，¬p(x)⑪注意1.¬p(x)表示p(x)不成立.2.含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.对于省略了量词的命题，则需要根据命题的含义加上量词，再改写.3.命题p与¬p(p的否定)真假相反.∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x｜p(x)}，B＝{x｜q(x)}.(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则A⊇B.(2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；若p是q的必要不充分条件，则A⫌B.(3)若p是q的充要条件，则A＝B.【常用结论】易错点1条件判定不全面而致误解析1．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足ab＋cb＝2”，则甲是乙的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件当a＝b＝c＝0时，实数a，b，c满足2b＝a＋c，但此时ab＋cb＝2不成立；反过来由ab＋cb＝2得a＋c＝2b，实数a，b，c满足2b＝a＋c.综上所述，“实数a，b，c满足2b＝a＋c”是“实数a，b，c满足ab＋cb＝2”的必要不充分条件，故选A.A【易混易错练】证明充分性： ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2，则x1x2＝ca<0，∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，x2，则由根与系数的关系，得x1x2＝ca<0，即ac<0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.易错点2不能正确区分命题的条件与结论而致误2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.解3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)矩形有一个外接圆；(2)非负实数有两个平方根；(3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立．(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．(3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1<0成立”，是存在量词命题．易错点3不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错4．若命题p：∀x∈R，1x－2<0，则¬p：_______________________________________．易错点4忽视否定的范围而致错∃x∈R，1x－2>0或x－2＝05．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则¬p：__________________________________．∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解判断充分、必要条件的三种方法命题点1充分条件与必要条件【考点分类练】角度1充分条件与必要条件的判断例1(1)[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件B[解析]因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.(2)[2023全国卷甲]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的...