专题08等差数列的判定与证明【基本方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．【基本题型】[例1](1)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是()A．{an＋1－an}是等差数列B．{bn＋1－bn}是等差数列C．{an－bn}是等差数列D．{an＋bn}是等差数列(2)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(3)(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是()A．{|an|}B．{an＋1－an}C．{pan＋q}(p，q为常数)D．{2an＋n}(4)已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列四个命题中，错误的是()A．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列是公差为的等差数列B．若数列是公差为d的等差数列，则数列{an}是公差为2d的等差数列C．若数列{an}是等差数列，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列D．若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列(5)已知无穷数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，其中a，b，c为实数，则()A．{an}可能为等差数列B．{an}可能为等比数列C．{an}中一定存在连续的三项构成等差数列D．{an}中一定存在连续的三项构成等比数列(6)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列[例2]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26．(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}为等差数列．[例3]已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．[例4]在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn．[例5]数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*．(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn．[例6]若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝．(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[例7]已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)．(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)设cn＝－，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，求Tn．[例8](2014·全国Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[例9]设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an－Sn－1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋(n＋2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[例10]若数列{bn}对于任意的n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn，若cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n．(1)求证：{an}是准等差数列；(2)求{an}的通项公式及前20项和S20．【对点精练】1．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110．(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．已知数列{an}满足...