§10.3二项式定理第十章计数原理、概率、随机变量及其分布能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理二式定理项(a＋b)n＝____________________________________(n∈N*)二展式的通项开项Tk＋1＝_________，表示展式的第它开_____项二式系项数____(k＝0,1，…，n)1.二式定理项C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnk＋1Cknan－kbkCkn知识梳理(3)各二式系的和：项数(a＋b)n的展式的各二式系的和开项数为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___.2.二式系的性项数质(1)性：首末端对称与两“等距离”的二式系两个项数.(2)增性最大：减与值当n是偶，中的一数时间项______取得最大；值当n是奇，中的数时间两项_______与_______相等，且同取得最大时值.2Cnn12Cnn－12Cnn＋相等2n常用结论1.C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2.Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.思考辨析判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)是(a＋b)n的展式中的第开k项.()(2)(a＋b)n的展式中每一的二式系开项项数与a，b无关.()(3)通公式项中的a和b不能互换.()(4)二式的展式中的系最大二式系最大是相同的项开数项与项数项.()××√√Cknan－kbkTk＋1＝Cknan－kbk教材改编题因展式的通为开项为Tk＋1＝，1.1x－x10的展式中开x2的系等于数A.45B.20C.－30D.－90√311010100221CC()(1)kkkkkkkxxx－－－＝－令－10＋＝2，得k＝8，所以展式中开x2的系数为(－1)8×C＝45.32k教材改编题2.已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝243，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn等于A.31B.32C.15D.16√即3n＝35，所以n＝5，逆用二式定理得项C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝243，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝25－1＝31.教材改编题因二式系之和为项数为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝Ck6·x6－k·1xk＝Ck6x6－2k，3.若的展式中二式系之和开项数为64，展式的常则开数项为____.x＋1xn20当6－2k＝0，即k＝3常，时为数项T4＝C36＝20.探究核心题型第二部分由二式定理得项Tk＋1＝Ck101x10－k(－x2)k＝，命题点1形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1(1)二式项的展式中的常是开数项A.－45B.－10C.45D.65题型一通项公式的应用1x－x210√55210(1)Ckkkx－－令5k2－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C210＝45.(2)已知的展式中开x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝______.x－ax5±1x－ax5的展式的通开项为Tk＋1＝Ck5x5－k·－axk＝(－a)kCk5.由5－32k＝5，得k＝0，由5－32k＝2，得k＝2，所以A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，由则1＋10a2＝11，解得a＝±1.352kx命题点2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展式中开x2y2的系是数A.56B.84C.112D.168√在(1＋x)8的展式中含开x2的项为C28x2＝28x2，(1＋y)4的展式中含开y2的项为C24y2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.(2)在(2x＋a)的展式中，开x2的系－数为120，二展式则该项开中的常数项为A.3204B.－160C.160D.－320√x＋2x6x＋2x6的展式的通开项为Tk＋1＝Ck6·x6－k·2xk＝Ck6·2k·x6－2k，2xTk＋1＝Ck6·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，aTk＋1＝aCk6·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，则aC26·22＝60a＝－120，解得a＝－2， 7－2k≠0，在－2Tk＋1中，令6－2k＝0，解得k＝3，∴展式中的常－开数项为2C36·23＝－320.思维升华(1)求二展式中的特定，一般是化通后，令字母的指符项开项简项数合要求(求常，指零；求有理，指整等数项时数为项时数为数)，解出项数k＋1，代回通即可项.(2)于几多式的展式中的特定，一般可以根据因式对个项积开项问题乘的律，合合思想求解，但要注意适地用分方法，以连规结组当运类免重或漏复遗.思维升华跟踪训练1(1)(2022·新高考...