§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式第四章三角函数与解三角形考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2.掌握诱导公式，并会简单应用.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理1.同角三角函的基本系数关(1)平方系：关.(2)商系：数关.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z知识梳理2.三角函的公式数诱导公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦sinα___________________________余弦cosα_____________________________正切tanα____________－tanα口诀奇偶不，符看象限变变号π2－απ2＋α－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα常用结论同角三角函的基本系式的常形数关见变sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的件是条α角为锐.()(2)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()(3)若α，β角，为锐则sin2α＋cos2β＝1.()(4)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()××××教材改编题1.若cosα＝13，α∈－π2，0，则tanα等于A.－24B.24C.－22D.22√由已知得，sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22.教材改编题2.若sinα＋cosα＝22，则sinαcosα等于A.－12B.－14C.22D.2√教材改编题因为sinα＋cosα＝22，所以(sinα＋cosα)2＝12，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝12，即1＋2sinαcosα＝12，所以sinαcosα＝－14.教材改编题3.化简cosα－π2sin5π2＋α·cos(2π－α)的果结为.sinα原式＝sinαcosα·cosα＝sinα.探究核心题型第二部分题型一同角三角函数基本关系例1(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，下列正确的是则结论A.θ∈π2，πB.cosθ＝－45C.tanθ＝－34D.sinθ－cosθ＝75√√因为sinθ＋cosθ＝15，①所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，则2sinθcosθ＝－2425，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以θ∈π2，π，故A正确；所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，所以sinθ－cosθ＝75，②故D正确；由①②立可得，联sinθ＝45，cosθ＝－35，故B；错误所以tanθ＝sinθcosθ＝－43，故C错误.(2)已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝.0 cosα＝－513<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角，则sinα＝1－cos2α＝1－－5132＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝1213－513＝－125.此时13sinα＋5tanα＝13×1213＋5×－125＝0.②若α是第三象限角，则sinα＝－1－cos2α＝－1－－5132＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝－1213－513＝125，此，时13sinα＋5tanα＝13×－1213＋5×125＝0.上，综13sinα＋5tanα＝0.(3)已知tanα＝2，则3sinα－2cosαsinα＋cosα＝；23sin2α＋14cos2α＝.43712因为tanα＝2，所以3sinα－2cosαsinα＋cosα＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.23sin2α＋14cos2α＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712.思维升华思维升华(1)用公式注意方程思想的用：于应时应对sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三式子，利用这个(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(2)注意公式逆用及形用：变应1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1(1)(2023·州模苏拟)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α等于A.35B.－35C.－3D.3√由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，得tanα＋33－tanα＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋sinα...