必刷大题6导数的综合问题第三章一元函数的导数及其应用1.(2023·州模温拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)lnx.(1)当a＝0，求时f(x)的；单调区间12345f(x)的定域义为(0，＋∞)，当a＝0，时f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x.当x∈0，22，时f′(x)<0，则f(x)的单调递减区间为0，22，当x∈22，＋∞，时f′(x)>0，则f(x)的增单调递区间为22，＋∞.1234512345(2)若f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取范值围.由f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，得a2＋1≤x2lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立.设h(x)＝x2lnx(x>1)，则h′(x)＝x2lnx－1lnx2.当x∈(1，e)，时h′(x)<0；当x∈(e，＋∞)，时h′(x)>0.所以h(x)min＝h(e)＝2e，则a2＋1≤2e，解得－2e－1≤a≤2e－1，故a的取范是值围[－2e－1，2e－1].123452.设f(x)＝2xlnx＋1.(1)求f(x)的最小；值f(x)的定域义为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋1)，当x∈0，1e，时f′(x)<0，f(x)；单调递减当x∈1e，＋∞，时f′(x)>0，f(x)增，单调递所以当x＝1e，时f(x)取得最小值f1e＝1－2e.12345(2)明：证f(x)≤x2－x＋1x＋2lnx.12345令F(x)＝x2－x＋1x＋2lnx－f(x)＝x(x－1)－x－1x－2(x－1)lnx＝(x－1)x－1x－2lnx，令g(x)＝x－1x－2lnx，则g′(x)＝1＋1x2－2x＝x－12x2≥0，1234512345所以g(x)在(0，＋∞)上增，单调递又g(1)＝0，所以当0<x<1，时g(x)<0，F(x)>0当x>1，时g(x)>0，F(x)>0，当x＝1，时F(x)＝0，所以(x－1)x－1x－2lnx≥0，即f(x)≤x2－x＋1x＋2lnx.123453.(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四冬季林匹克届奥运动会开幕式在北京家体育行，拉了冬的帷幕国场举开奥会.冬布的吉祥奥会发物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜，到一墩求的地步爱达难.地某旅游用品商店批此次念品，其中某挂件念品当获经销奥运会纪个纪每件的成本为5元，且每件念品需向部上交并纪税务门a元(10≤a≤13)的收，每件品的售价定税预计当产为x元(13≤x≤17)，一年的售时销量为(18－x)2万件.(1)求商店一年的利该润f(x)(万元)每件念品的售价与纪x的函系式；数关12345由意，每件品的售价题预计当产为x元(13≤x≤17)，一年的售时销量为(18－x)2万件，而每件品的成本产为5元，且每件品需向产税部上交务门a元(10≤a≤13)，∴商店一年的利润f(x)(万元)售价与x的函系式数关为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17].12345(2)求出f(x)的最大值Q(a). f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，令f′(x)＝0，解得x＝28＋2a3或x＝18，而10≤a≤13，则16≤28＋2a3≤18，①若16≤28＋2a3<17，即10≤a<11.5，当x∈13，28＋2a3，时f′(x)≥0，f(x)增，单调递12345当x∈28＋2a3，17，时f′(x)≤0，f(x)，单调递减∴f(x)max＝f28＋2a3＝427(13－a)3；②若17≤28＋2a3≤18，即11.5≤a≤13，则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上增，单调递∴f(x)max＝f(17)＝12－a，上，综Q(a)＝42713－a3，10≤a<11.5，12－a，11.5≤a≤13.123454.(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x2＋2x－，a∈R.(1)当a＝4，求时f(x)的；极值alnx2由意，题f(x)＝x2＋2x－4lnx2，x>0，则f′(x)＝2x＋2－4x＝2x(x2＋x－2)＝2x(x－1)(x＋2)，故f(x)在(0,1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，单调递有小极值f(1)＝3－4ln12，无大极值.1234512345(2)若曲线y＝f(x)直与线y＝ax在(0,4]上有且只有一交点，求个a的取范值围.设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－alnx2，x∈(0,4]，则g′(x)＝2x＋(2－a)－ax＝1x[2x2＋(2－a)x－a]＝1x(x＋1)(2x－a)，①当a＝0，时g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合意；题②当a<0，时g(x)在(0,4]上增，单调递g(2)＝4＋(2－a)×2>0，x→0，时g(x)<0，由零点存在定理得，g(x)在(0,4]只有一零点，即曲内个线y＝f(x)直与线y＝ax在(0,4]上有且只有一交点个.12345③当a>0，时g(x)在0，a2上，在单调递减a2，4上增，单...