§5.3平面向量的数量积第五章平面向量与复数1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理1.向量的角夹已知非零向量两个a，b，O是平面上的任意一点，作，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的角夹.2.平面向量的量数积已知非零向量两个a与b，的角它们夹为θ，我把量们数叫做向量a与b的量，作数积记.OA→＝a，OB→＝b∠AOB|a||b|cosθa·b知识梳理3.平面向量量的几何意数积义设a，b是非零向量，的角是两个它们夹θ，e是与b方向相同的位向量，＝单a，＝b，的起点过A和点终B，分作所在直的垂，垂足分别线线别为A1，B1，得到AB→CD→AB→CD→A1B1—→，我上述向量们称变换为a向向量b，叫做向量a在向量b上的.记为.投影投影向量|a|cosθeA1B1—→知识梳理4.向量量的算律数积运(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝.(3)(a＋b)·c＝.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c知识梳理5.平面向量量的有数积关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的角夹为θ.几何表示坐表示标量数积a·b＝|a||b|cosθa·b＝___________模|a|＝_____|a|＝________x1x2＋y1y2a·ax21＋y21知识梳理角夹cosθ＝_______cosθ＝________________a⊥b的充要件条a·b＝0______________|a·b|与|a||b|的系关|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22x1x2＋y1y2＝0x21＋y21x22＋y22常用结论1.平面向量量算的常用公式数积运(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有向量角的关夹两个结论(1)若a与b的角角，夹为锐则a·b>0；若a·b>0，则a与b的角夹为锐角或0.(2)若a与b的角角，夹为钝则a·b<0；若a·b<0，则a与b的角夹为钝角或思考辨析(2)若a，b共，线则a·b＝|a|·|b|.()(3)向量的量是一，向量的加、、乘算的果是两个数积个实数减数运结向量.()(4)若a·b＝a·c，则b＝c.()√×判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)向量的角的范是两个夹围0，π2.()××教材改编题由意可得题a·b＝|a|·|b|cos30°＝2×3×32＝3.1.已知向量a，b足满|a|＝2，|b|＝3，且a与b的角夹为30°，那么a·b等于A.1B.3C.3D.33√教材改编题2.已知向量a，b的角夹为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______.23教材改编题3.若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的等于值____；a与b角夹的余弦值等于_____.555所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝12＋22＝5，|b|＝－32＋42＝5，因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝55×5＝55.探究核心题型第二部分题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·广州模拟)在平面四形边ABCD中，已知AB→＝DC→，P为CD上一点，CP→＝3PD→，|AB→|＝4，|AD→|＝3，AB→与AD→的角夹为θ，且cosθ＝23，则AP→·PB→等于A.8B.－8C.2D.－2√如所示，图 AB→＝DC→，∴四形边ABCD平行四形，为边 CP→＝3PD→，∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，PB→＝AB→－AP→＝34AB→－AD→，又 |AB→|＝4，|AD→|＝3，cosθ＝23，则AB→·AD→＝4×3×23＝8，∴AP→·PB→＝AD→＋14AB→·34AB→－AD→＝12AB→·AD→－AD→2＋316AB→2＝12×8－9＋316×42＝－2.(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，BC→＝3BD→，AM→＝2AD→，则MC→·MB→＝________.22如，以图BC所在直线为x，轴BC的垂直平分线为y，建立平面直角坐系，轴标 AB＝6，BC→＝3BD→，AM→＝2AD→，∴B(－3,0)，C(3,0)，M(－2，－33)，∴MB→＝(－1,33)，MC→＝(5,33)，∴MC→·MB→＝－5＋27＝22.思维升华算平面向量量的主要方法计数积(1)利用定：义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐算，若标运a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求量数积.(4)活用平面向量量的几何意灵运数积义.思...