小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第56讲立体几何中的切接问题（微专题）题型一、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、（2023·安徽·统考一模）在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由，得，所以的外接圆半径，由于底面，所以外接球的半径，所以外接球的表面积.故选：B.变式1、（2022·江苏海门·高三期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（）A．16πB．C．8πD．【答案】B【分析】探求正四棱锥的顶点P在底面上射影与球O的球心关系即可计算作答.【详解】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，所以球O的体积是.故选：B变式2、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则平面.取BC的中点G，连接FG，作，垂足为H，如图所示，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由题意得，，，，，∴，∴，又 ，∴，∴，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，∴这个羡除的外接球体积为. ，面，面，∴面，即：点A到面的距离等于点B到面的距离，又 ，∴，∴这个羡除的体积为，∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为.故选：A.变式3、（2022·广东罗湖·高三期末）在中，，且，，若将沿AC边上的中线BD折起，使得平面平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（）A．B．四面体ABCD的体积为C．存在点E使得的面积为D．四面体ABCD的外接球表面积为【答案】BCD【分析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com取的中点，连接，利用垂直关系的转化得到判定选项A错误；过作的垂线，利用直角三角形求出高和底面面积，再利用体积公式求出体积判定选项B正确；求出的面积的最大值和最小值，进而判定选项C正确；确定四面体外接球的球心，再通过直角三角形求出半径，再求其体积判定选项D正确.【详解】对于A：取的中点，连接，因为，所以，又平面平面BCD，所以平面，则，若，则，所以平面，则，显然不可能，故选项A错误；对于B：考查三棱锥的体积，易知的面积为，在平面中，过作的垂线，交的延长线于点，易知，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为平面平面，所以到平面，即三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，即四面体的体积为，故选项B正确；对于C：显然当平面时，的面积取得最小值，易知，且，所以，又四面体的体积为，所以，即，且的面积为，所以存在点使得的面积为，故选项C正确；对于D：设与的外心依次为，，过作平面的垂线，过作平面的垂线，则四面体的外接球球心为直线与的交点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则四边形为矩形，且，，所以四面体的外接球半径为，则外接球表面积为，故选项D正确...