小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第24讲平面向量的数量积及其应用（精讲）题型目录一览①平面向量的数量积的运算②平面向量的模长③平面向量的夹角④两个向量的垂直问题⑤平面向量的投影数量、投影向量⑥平面向量的应用一、平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ).二、数量积的运算律已知向量、、和实数，则：一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①；②；③．三、数量积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．四、数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)【常用结论】(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线题型一平面向量的数量积的运算策略方法平面向量数量积的三种运算方法【典例1】已知向量的夹角为，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】.故选：D.二、题型分类精讲小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【典例2】已知的外接圆圆心为，且，，则（）A．0B．2C．4D．【答案】C【分析】根据题意可知△为直角三角形，△为等边三角形，即可求出的值.【详解】由知是边中点，因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，且，因为，所以△为等边三角形，所以，，所以.故选：C.【题型训练】一、单选题1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.【详解】因为，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，所以向量与向量的夹角为，且，所以.故选：B2．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（）A．5B．C．D．【答案】B【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.【详解】由题意向量，，可得，故，故选：B3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．1B．-2C．2D．【答案】C【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可.【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.故选：C4．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（）A．B．C．12D．72【答案】A【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.【详解】因为，且与夹角的余弦值为，所以.故选：A.5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.【详解】，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com.故选：C.6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计...