小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第36讲空间向量及其应用（精讲）题型目录一览①利用空间向量证线面平行、面面平行②利用空间向量证线面垂直、面面垂直③利用空间向量求异面直线夹角④利用空间向量求线面角、面面角⑤利用空间向量求点到线距离、点到面距离一、法向量的求解与简单应用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．注：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．第一步：写出平面内两个不平行的向；第二步：那么平面法向量，满足．（2）判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．若∥，即，则；若，即，则．②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．若∥，即，则；若，即，则．一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）平面与平面的位置关系平面的法向量为，平面的法向量为．若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．二、空间角公式（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．（3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．三、空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．，【常用结论】用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．题型一利用空间向量证线面平行、面面平行策略方法利用空间向量证明平行的方法平行线线明直的方向向量共证两线线面平行线①明直的方向向量平面的某一法向量垂直；②明直的方向向量证该线与证线平面某直的方向向量平行与内线二、题型分类精讲小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com面面平行①明平面的法向量共向量；②化面平行、平行证两为线转为线线线问题【典例1】在正方体中，若为中点，为中点.求证：(1)；(2)平面；(3)平面平面．【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB．3．（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，，分别是，的中点.(1)求证：平面；4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.证明：平面.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）在正四棱锥中，已知，...