小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）1.二维形式的柯西不等式2.二维形式的柯西不等式的变式3.二维形式的柯西不等式的向量形式注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。4.扩展：，当且仅当时，等号成立.【典例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________.二、题型精讲精练一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解：，则所以，当且仅当时等号成立.答案：【典例2】（2019·全国高考真题）设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.【详解】(1)故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立，所以的最小值为.(2)因为，所以.根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com成立.所以成立，所以有或.【题型训练1-刷真题】一、填空题1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.二、解答题2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．【题型训练2-刷模拟】1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值．2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知，且满足，求的最小值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且．求证：(1)；(2)．4．（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明：(1)；(2)．5．（2023·全国·高三专题练习）已知均为正数，且满足.证明：(1)；(2).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设为正数，且.(1)证明；(2)证明.7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知，且，证明：(1)；(2)若，则.二、单选题8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材45﹣中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A．B．C．D．9．（2023·浙江·统考一模）若，则的最小值是（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．0B．C．D．三、填空题10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________．11．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．12．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com