小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展29立体几何中的结构不良问题（精讲+精练）一、空间向量与立体几何的求解公式(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cosθ＝；(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，则直线l与平面α所成的角为θ满足：sinθ＝|cosβ|＝.(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则两面的成角θ满足：cosθ＝cos〈n1，n2〉＝；注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为：|BO|＝，即向量BO在法向量n的方向上的投影长.二、几种常见角的取值范围①异面直线成角∈(0，]；②二面角∈[0，π]；③线面角∈[0，]；④向量夹角∈[0，π]三、平行构造的常用方法①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.四、垂直构造的常用方法①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.五、用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.六、用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.七、点面距常用方法①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法二、题型精讲精练一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【典例1】（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为，故平面，因为平面，故，若选①，则，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.若选②，因为，故平面，而平面，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.【题型训练-刷模拟】一、解答题1．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求证：；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．条件①：；条件②：平面平面；条件③：．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，E为的中点.(1)证明：平面平面；(2...