小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破01奔驰定理与四心问题目录技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故．技巧三．三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．为的内心．（2）外心：为的外心．（3）垂心：为的垂心．（4）重心：为的重心．题型一：奔驰定理例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（）A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】A【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.故选：A.例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设， ，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点，∴．比值为．故选：C．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是所在平面内一点，连接，，延长至使， ，∴，连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等，由于，所以，又，所以，在平行四边形中，，则与的面积比为，故选：C.变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根据平面向量基本定理可得，，所以，，延长交于，延长交于，则，又，所以，所以为的平分线，同理可得是的平分线，所以为的内心.故选：B变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．若，则O为△ABC的重心B．若，则C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则【答案】D【解析】对于A：如下图所示，假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，则有可知，若，可得，即B正确；对于C：由四边形内角和可知，，则，同理，，因为O为的垂心，则，所以，同理得，，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，由，则，同理：，，综上，，根据奔驰定理得，即C正确.对于D：由可知，，又，所以由可得，；所以，即D错误；故选：D.变式3．（多选题）（2023·江苏盐...