小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§6.4数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1B．42023－1C．22023＋1D．42023＋1答案B解析 an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1首，为项4公比的等比列，为数则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且＝＋2，则数列{an}的通项公式为__________．答案an＝解析 ＝＋2，等式同加两边时1整理得＋1＝3，又 a1＝1，∴＋1＝2，∴是首项为2，公比为3的等比列．数∴＋1＝2·3n－1，∴an＝.命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．解 an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴＝2，∴列数{an－n}是以a1－1＝2首，为项2公比的等比列，为数∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例3(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为()A．an＝(2n＋1)·3nB．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3nD．an＝(n＋1)·2n答案C解析由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋，∴－＝2，即列是首数项为1，公差为2的等差列，数∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.答案－3n－1解析已知将an＋1＝6an＋3n的同乘，得＝两边2·＋，令bn＝，则bn＋1＝2bn＋，利用命点题1的方法知bn＝－，则an＝－3n－1.思维升华形式造方法构an＋1＝pan＋q引入参数c，造新的等比列构数{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，造新的等比列构数{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn同除以两边qn＋1，造新的列构数跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于()A．n·2n－1B．n·2nC．(n－1)·2nD．(n＋1)·2n答案A解析由an＋1＝2an＋2n得＝＋1，设bn＝，则bn＋1＝bn＋1，又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差列．数∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.(2)(2023·山模黄拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2B．22023－1C．2D．1答案C解析(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝，即＝＋1，得＋1＝2，故是以2首，为项2公比的等比列，＋为数1＝2n，＝2n－1，an＝，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.答案2n＋1－n－1解析令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，原等式比得，与较x＝y＝1，所以＝2，所以列数{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4首，为项2为公比的等比列，所以数an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47B．48C．49D．410答案C解析由意得题a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即＝4(n≥3)，所以列数{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比列，所以数a9＋a10＝49.(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.答案解析方法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，所以＝＝＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比列．数所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，而＋从·＝，不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，故cn＋1－＝－，即＝－，又因为c1－＝－＝，所以列是首，公比－的等比列，数项为为数故cn－＝×n－1＝－，而从an...