小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．DBCAaba＋ba－b2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)AB·AD＝[|AC|2－|BD|2]．DBCAO图(1)DBCA图(2)3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则AB·AC＝|AD|2－|BD|2．三角形模式是平面向量化恒等式的模式，几乎所有的都是用解．极终极问题它决：向量的量等于第三的中第三的一半的平方差．记忆数积边线长与边长考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．化恒等式适用于求共起点积对(点终)的向量的量，于不共起点和不共点的可通平移两数积对终问题过化法等价化共起点转转为对(点终)的向量的量，而用化恒等式解．在用化恒等式求量两数积从极决运极数，在于取第三的中点，找到三角形的中，再出化恒等式，点在于求中及第三的积时关键边线写极难线边度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，而得到量的．长从数值【例题选讲】[例1](1)(2014·全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案A解析通法由件可得，条(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，式相得两减4a·b＝4，所以a·b＝1．极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(10－6)＝1．(2)(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________．答案－16解析因为M是BC的中点，由化恒等式得：极AB·AC＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM·PN＝()A．13B．7C．5D．3答案C解析接连AP，BP，则PM＝PA＋AM，PN＝PB＋BN＝PB－AM，所以PM·PN＝(PA＋AM)·(PB－AM)＝PA·PB－PA·AM＋AM·PB－|AM|2＝－PA·AM＋AM·PB－|AM|2＝AM·AB－|AM|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝________．答案解析连结EG，FH，交于点O，则EF·FG＝EF·EH＝EO2－OH2＝1－＝，GH·HE＝GH·GF＝GO2－OH2＝1－＝，因此EF·FG＋GH·HE＝．(5)(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值为________．答案解析化恒等式法极设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的化恒极等式，有AB·AC＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4，FB·FC＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1．立解得联n2＝，m2＝．因此EB·EC＝ED2－DB2＝4n2－m2＝．即BE·CE＝．坐法以直标线BC为x，点轴过D且垂直于BC的直线为y轴，建立如所示的平面直角坐系图标xoy，如：图设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，有则E(2a，2b)，F(a，b)BA·CA＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4BF·CF＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝，c2＝BE·CE＝·＝4a2－c2＋4b2＝．基向量BA·CA＝(DA－DB)(DA－DC)＝＝＝4，BF·CF＝(DF－DB)(DF－DC)＝＝－1，因此FD2＝，BC＝，BE·CE＝(DE－DB)(DE－DC)＝＝＝．(6)在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB·DC＝2，则AC·BD的值为________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com...