小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题25面积与数量积型取值范围模型【例题选讲】[例1]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．[规范解答](1) 双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率e＝＝．又 直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2，0)，即a＝2，c＝，b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1．(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故·＝＝k2，则－＋m2＝0，由m≠0得k2＝，解得k＝±．又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O到直线的距离为d，则S△OMN＝|MN|d＝··|x1－x2|·＝|m|＝．故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1)．[例2](2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．[规范解答](1)设P(x0，y0)，A，B．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2．所以△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0)，．因为x＋＝1(－1≤x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，所以△PAB面积的取值范围是．[例3]已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点．(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．[规范解答](1)由题意知A，则B，D，则C，又a＝p，所以kCD＝＝－1．(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb>0，得kb<，又y1＋y2＝，y1y2＝，由y1＋y2＝>0，y1y2＝>0，可知k>0，b>0，因为|CD|＝|x1－x2|＝a，点O到直线CD的距离d＝，所以S1＝·a·＝ab．又S2＝(y1＋y2)·|x1－x2|＝··a＝，所以＝，因为0<kb<，所以0<<．即的取值范围为．[例4]如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2，0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于的直交于线与椭圆M，N两点(|PM|＞|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．[规范解答](1)因为BF1⊥x轴，所以点B，所以解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1．(2)因为＝＝＝λ⇒＝(λ＞2)，所以PM＝－PN．由(1)可知P(0，－1)，设直线MN的方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得化简得，(4k2＋3)x2－8kx－8＝0．得(*)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又PM＝(x1，y1＋1)，PN＝(x2，y2＋1)，有x1＝－x2，将x1＝－x2代入(*)可得，＝．因为k＞，所以＝∈(1，4)，则1＜＜4且λ＞2，解得4＜λ＜4＋2．综上所述，实数λ的取值范围为(4，4＋2)．[例5](2016·全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．[规...