小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题28单变量恒成立之参变分离后导函数零点可猜型【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则a≤g(x)min．利用分离法确定不等式参数来f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立中取范的基本步：问题参数值围骤(1)量分离，化将参数与变为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D的最大或最小．时值值(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取范．值围【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围．解析(1)由f(x)＝ex－xlnx，知f′(x)＝e－lnx－1，则f′(1)＝e－1，而f(1)＝e，则所求切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1．(2) f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，∴g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立等价于ex－tx2＋x－ex＋xlnx≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即t≤对任意的x∈(0，＋∞)恒成立．令F(x)＝，则F′(x)＝＝，令G(x)＝ex＋e－－lnx，则G′(x)＝ex－－＝＞0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立．∴G(x)＝ex＋e－－lnx在(0，＋∞)上单调递增，且G(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，G(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，G(x)＞0，即当x∈(0，1)时，F′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＞0，∴F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(1)＝1，∴t≤1，即t的取值范围是(－∞，1]．[例2]已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解析(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，f(0)＝(0－2)e0＝－2，f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1，所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0．(2)方法一()f′(x)＝(x－1)(ex－a)，①当a≤0时，因为x≥2，所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0成立．②当0<a≤e2时，f′(x)≥0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0成立．③当a>e2时，在区间(2，lna)上，f′(x)<0；在区间(lna，＋∞)上，f′(x)>0，所以f(x)在(2，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意．综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]．方法二当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立．即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立．当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R．当x>2时，x2－x>0，所以a≤＝恒成立．设g(x)＝，则g′(x)＝，因为x>2，所以g′(x)>0，所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增．所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2．综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]．【对点精练】1．已知函数f(x)＝(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤ex－1＋－1恒成立，求实数a的取值范围．1．解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝．令f′(x)>0，得1－a－lnx>0，解得0<x<e1－a．令f′(x)<0，得1－a－lnx<0，解得x>e1－a．故f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞)．(2)因为f(x)≤ex－1＋－1恒成立，即≤ex－1＋－1对(0，＋∞)恒成立，所以a≤xex－1－x－lnx＋1对(0，＋∞)恒成立，令g(x)＝xex－1－x－lnx＋1，则g′(x)＝ex－1＋xex－1－1－＝(x＋1)．当x∈(0，1)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，1)上单调递减．当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增．故当x＝1时，g(x)取到最小值g(1)＝1，所以a≤1．故实数a的取值范围是(－∞，1]．2．函数f(x)＝lnx＋x2...