小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题29单变量恒成立之参变分离后导函数零点不可求型【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则a≤g(x)min．利用分离法确定不等式参数来f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立中取范的基本步：问题参数值围骤(1)量分离，化将参数与变为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D的最大或最小．时值值(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取范．值围【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝axex－lnx＋b在x＝1处的切线方程为y＝(2e－1)x－e．(1)求a，b的值；(2)若f(x)≥mx恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)f′(x)＝aex＋axex－， 函数f(x)＝axex－lnx＋b在x＝1处的切线方程为y＝(2e－1)x－e，∴∴a＝1，b＝－1．(2)由f(x)≥mx得，xex－lnx－1≥mx(x＞0)，即m≤，令φ(x)＝，则φ′(x)＝，令h(x)＝x2ex＋lnx，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h＝e－1<－1＝0，h(1)＝e>0，故h(x)在上存在零点x0，即h(x0)＝xex0＋lnx0＝0，即x0ex0＝－＝·e，由于y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，故x0＝ln＝－lnx0，即ex0＝，且φ(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(x0)＝＝1，∴m≤1．[例2]已知函数f(x)＝xlnx＋ax(a∈R)．(1)若函数f(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x∈(1，＋∞)，f(x)>k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值．解析：(1)由f(x)＝xlnx＋ax，得f′(x)＝lnx＋a＋1， 函数f(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，f′(x)≥0，即lnx＋a＋1≥0在区间[e2，＋∞)上恒成立，∴a≥－1－lnx．又当x∈[e2，＋∞)时，lnx∈[2，＋∞)，∴－1－lnx∈(－∞，－3]．∴a≥－3．(2)若对任意x∈(1，＋∞)，f(x)>k(x－1)＋ax－x恒成立，即xlnx＋ax>k(x－1)＋ax－x恒成立，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com也就是k(x－1)<xlnx＋ax－ax＋x恒成立， x∈(1，＋∞)，∴x－1>0．则问题转化为k<对任意x∈(1，＋∞)恒成立．设函数h(x)＝，则h′(x)＝，再设m(x)＝x－lnx－2，则m′(x)＝1－． x∈(1，＋∞)，∴m′(x)>0，则m(x)＝x－lnx－2在(1，＋∞)上为增函数， m(1)＝1－ln1－2＝－1，m(2)＝2－ln2－2＝－ln2，m(3)＝3－ln3－2＝1－ln3<0，m(4)＝4－ln4－2＝2－ln4>0．∴∃x0∈(3，4)，使m(x0)＝x0－lnx0－2＝0，∴当x∈(1，x0)时，m(x)<0，h′(x)<0，∴h(x)＝在(1，x0)上单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，m(x)>0，h′(x)>0，∴h(x)＝在(x0，＋∞)上单调递增，∴h(x)的最小值为h(x0)＝． m(x0)＝x0－lnx0－2＝0，∴lnx0＋1＝x0－1，代入函数h(x)＝得h(x0)＝x0， x0∈(3，4)，且k<h(x)对任意x∈(1，＋∞)恒成立，∴k<h(x)min＝x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．[例3]已知函数f(x)＝aex－xex＋x－a(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若对任意x>0都有f(x)<x＋1恒成立，求a的最大整数值．解析(1)当a＝2时，f(x)＝2ex－xex＋x－2，∴f′(x)＝2ex－(ex＋xex)＋1＝ex－xex＋1，因此f(0)＝0，f′(0)＝2．所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x．(2)对任意x>0，恒有f(x)<x＋1，即a(ex－1)<xex＋1．因为x>0，所以ex－1>0，所以a<＝x＋．设g(x)＝x＋(x>0)，则只需a<g(x)min，则g′(x)＝1－＝．令h(x)＝ex－x－2(x>0)，则h′(x)＝ex－1>0恒成立．所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0．所以存在唯一一个x0使得h(x0)＝0，且1<x0<2．所以当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，g′(x)>0．所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(x0)＝x0...