小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题32单变量恒成立之端点效应非单验悖考点一单变量恒成立端点效应非单验悖之含端点【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝e－x－ax(x∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值；(2)若x≥0时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1恒成立，求实数a的取值范围．思路(1)先判断f(x)的单调性，再求最小值，(2)端点值等于临界值，令F(x)＝f(x－1)－ax＋x2＝(x－1)ln(x－1)＋x2－ax(x≥2)，F(2)＝0，所以用“端点效应＋非单验悖”解决．解析(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，则f′(x)＝－＋1＝．令f′(x)＝0，得x＝0当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0．所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以当x＝0时，函数f(x)取得最小值，且最小值为f(0)＝1.(2)因为x≥0时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1恒成立，即ex＋ax＋ln(x＋1)－1≥0.(*)令g(x)＝ex＋ax＋ln(x＋1)－1，则又g″(x)＝ex－≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以g′(x)＝ex＋＋a在[0，＋∞)上单调递增．①若a≥－2，则当且仅当x＝0，a＝－2时取等号，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，有g(x)≥g(0)＝0，(*)式恒成立．②若a＜－2，由于g′(0)＝2＋a＜0，x→＋∞时，g′(x)→＋∞，所以必存在唯一的x0∈(0，＋∞)，使得g′(x0)＝0，当0＜x＜x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＞x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．所以当x∈(0，x0)时，g(x)＜g(0)＝0，(*)式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[－2，＋∞)．悟通考虑端点值，直入问题本质，抓住端点值展开讨论．分析端点值，明确函数图象走势．[例2]已知函数f(x)＝ex－x2－ax－1，g(x)＝cosx＋x2－1．(1)当a＝1时，求证：当x≥0时，f(x)≥0；(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解析(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x2－x－1，∴f′(x)＝ex－x－1，令u(x)＝ex－x－1，则u′(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，故f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥f′(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，从而原不等式得证．(2) f(x)＋g(x)＝ex＋cosx－ax－2，令h(x)＝ex＋cosx－ax－2，则h′(x)＝ex－sinx－a，令t(x)＝ex－sinx－a，则t′(x)＝ex－cosx， ex≥1，－1≤cosx≤1，故t′(x)≥0，∴h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴h′(x)≥h′(0)＝1－a，①当1－a≥0，即a≤1时，h′(x)≥0，故h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，满足题意；②当1－a<0，即a>1时， h′(0)<0，又x→＋∞时，h′(x)→＋∞，∴∃x0∈(0，＋∞)，使得h′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴h(x)在(0，x0)上单调递减，此时h(x)<h(0)＝0，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1]．[例3]已知函数f(x)＝axln(x＋1)＋x＋1(x>－1，a∈R)．(1)若a＝，求函数f(x)的单调区间；(2)当x≥0时，f(x)≤ex恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)a＝时，f(x)＝xln(x＋1)＋x＋1，f′(x)＝＋1＝＋1．易得f′(x)在(－1，＋∞)上是增函数，且f′＝0，∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数；当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数．∴函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是．(2)记g(x)＝f(x)－ex(x≥0)，则g(0)＝0，g′(x)＝a＋1－ex．记h(x)＝a＋1－ex(x≥0)，h′(x)＝a－ex，h′(0)＝2a－1．①当a≤时， ＋∈(0，2]，ex≥1，∴h′(x)≤0，h(x)在[0，＋∞)上是减函数，则h(x)≤h(0)＝0，即g′(x)≤0，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴g(x)≤g(0)＝0恒成立，即f(x)≤ex恒成立，满足题设；②当a>时，h′(x)＝a－ex在[0，＋∞)上是减函数，又h′(0)＝2a－1>0，当x→＋∞时，h′(x)→－∞，则必存在x0∈(0，＋∞)，使h′(x0)＝0，则当x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)在(0，x0)上是增函数，此时h(x)>h(0)＝0，即当x∈(0，x0)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上是增函数，∴g(x)>g(0)＝0，即f(x)>ex，不符合题意．综合①②，得a≤，即实数a的取值范围为．【对点训练】1．(2017·全国Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0...