小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题34单变量不等式能成立之最值分析法【方法总结】单变量不等式能成立之最值分析法遇到f(x)≥g(x)型的不等式能成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)max≥0或u(x)min≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．注意“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．注意与恒成立问题的区别．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．【例题选讲】[例1]设函数f(x)＝2lnx－mx2＋1．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，求实数m的取值范围．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2mx＝，当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)>0，得0<x<，令f′(x)<0，得x>，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当f(x)有极值时，m>0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减．∴f(x)max＝f＝2ln－m·＋1＝－lnm，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，则f(x)max>m－1．即－lnm>m－1，lnm＋m－1<0成立．令g(x)＝x＋lnx－1(x>0)， g′(x)＝1＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，∴0<m<1．∴实数m的取值范围是(0，1)．[例2]设f(x)＝x－－alnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线方程；(2)当a<1时，在内是否存在一实数x0，使f(x0)>e－1成立？解析(1)当a＝1时，f(x)＝x－lnx，f()＝＋ln2，f′(x)＝1－，所以曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为f′＝1－＝－1.故所求切线方程为y－＝－，即x＋y－ln2－1＝0.(2)假设当a<1时，在内存在一实数x0，使f(x0)>e－1成立，则只需证明当x∈时，f(x)max>e－1即可．f′(x)＝1＋－＝＝(x>0)，令f′(x)＝0得，x1＝1，x2＝a－1，当a<1时，a－1<0，∴当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，e)时，f′(x)>0．∴函数f(x)在上单调递减，在[1，e]上单调递增，∴f(x)max＝max{f()，f(e)}．于是，只需证明f(e)>e－1或f()>e－1即可． f(e)－(e－1)＝e－－a－(e－1)＝>0，∴f(e)>e－1成立．所以假设正确，即当a<1时，在x∈内至少存在一实数x0，使f(x0)>e－1成立．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例3]已知f(x)＝xeax－x2－x＋1，a≠0．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若∃x0≥1，使f(x0)＜成立，求参数a的取值范围．解析(1)当a＝1时，f(x)＝xex－－x＋1，所以f′(x)＝ex＋xex－x－1＝(ex－1)(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞0；由f′(x)＜0，得－1＜x＜0．所以f(x)的单调递减区间为(－1，0)，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)．(2)由题意，得f(x)min＜(x≥1)，因为f′(x)＝(ax＋1)(eax－1)，由f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝0．①当a＞0时，因为x≥1，所以f′(x)＞0，所以f(x)单调递增，即f(x)min＝f(1)．f(1)＝ea－＜，即ea－a＜0．设g(a)＝ea－a(a＞0)，g′(a)＝ea－1＞0．所以g(a)min＞g(0)＝e0－0＝1＞0，即ea＞a恒成立，即g(a)＞0，所以不等式ea－a＜0无解；②当a＜0时，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0．∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．且f(0)＝1＞0，由①知f(1)＞恒成立，若∃x0≥1，使f(x0)＜，则所以所以解得1－＜a＜0．综上所述，参数a的取值范围为．[例4]已知函数f(x)＝－alnx－＋ax，a∈R．(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(x)＋xf′(x)，若关于x的不等式g(x)≤－ex＋＋(a－1)x在[1，2]上有解，求实数a的取值范围．解析(1)依题设，f′(x)＝－－＋a＝(x>0)，当a<0时，ax－ex<0恒成立，所以当x>1时，f′(x)<0，当0<x<1时，f′(x)>0，故...