小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题11等比数列的判定与证明【基本方法】等比数列的四个判定方法(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一列不是等比列，只需判定存在三不成等比列即可．个数数则连续项数【基本题型】[例1](1)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列答案B(2)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2，3，4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2，3，4，…，即an＝2an－1，n＝2，3，4，…，所以必要性成立．故选B．(3)数列{an}中，a1＝p，an＋1＝qan＋d(n∈N*，p，q，d是常数)，则d＝0是数列{an}是等比数列的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析当d＝0，p＝0时，an＝0，数列{an}不是等比数列，所以充分性不成立；当q＝0，p＝d，d≠0时，an＝d，则数列{an}为公比为1的等比数列，所以必要性不成立．综上所述，d＝0是数列{an}是等比数列的既不充分也不必要条件，故选D．(4)在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1．设cn＝＋，列则数{an＋bn}与数列{anbn}分别为()A．首项为2，公比为2的等比数列；首项为1，公比为2的等比数列B．首项为1，公比为2的等比数列；首项为2，公比为2的等比数列C．首项为2，公比为4的等比数列；首项为1，公比为4的等比数列D．首项为1，公比为4的等比数列；首项为2，公比为4的等比数列答案A解析由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以数列{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列，即an＋bn＝2n，将an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘并化简，得an＋1bn＋1＝2anbn，即＝2．所以数列{anbn}是首项为1，公比为2的等比数列．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(5)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是()A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同答案D解析 Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，…．∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比数列．[例2]已知a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn．(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析(1)由题知，＝＝2，因为b1＝a2－a1＝4－2＝2，所以b1＋2＝4，所以数列{bn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可得，bn＋2＝4·2n－1，故bn＝2n＋1－2．因为an＋1－an＝bn，所以a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，a4－a3＝b3，…，an－an－1＝bn－1．累加得，an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)，an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2)＝2＋－2(n－1)＝2n＋1－2n，故an＝2n＋1－2n(n≥2)．因为a1＝2＝21＋1－2×1＝2符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－2n(n∈N*)．[例3](2016·全国Ⅲ)已知数列...