小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题13裂项相消法求和【基本知识】裂项相消法求和1．裂项相消法裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．1．常用的裂项公式(1)若{an}是等差数列，则＝，＝；(2)＝－，＝；(3)＝；(4)＝；(5)＝－(6)＝－，＝(－)；(7)loga＝loga(n＋1)－logan；(8)＝－，＝；(9)＝－；(10)＝－；(11)(－1)n＝(－1)n．注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．考点一选填题【基本题型】[例1](1)数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于()A．9B．99C．10D．100答案B解析因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99．(2)(2017·全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________．答案解析设公差为d，则∴∴an＝n．∴前n项和Sn＝1＋2＋…＋n＝，∴＝＝2，∴＝2＝2＝2·＝．(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列的前9和项为_____．答案－解析由Sn≤S5得即得－≤d≤－，又a2为整数，所以d＝－2，an＝a1＋(n－1)×d＝11－2n，＝，所以数列的前n项和Tn＝＝，所以T9＝－×＝－．(4)定义各项为正数的数列{pn}的“美数”为(n∈N*)．若各项为正数的数列{an}的“美数”，且bn＝，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则＋＋…＋＝________．答案解析因为各项为正数的数列{an}的“美数”为，所以＝，即Sn＝n(2n＋1)，则Sn－1＝(n－1)[2(n－1)＋1]＝2n2－3n＋1(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝4n－1(n≥2)，又＝，所以a1＝3，满足式子an＝4n－1，所以an＝4n－1(n∈N*)．又bn＝，所以bn＝n，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝．(5)若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋＋等于()A．B．C．D．答案C解析由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，则a2－a1＝1＋1，a3－a2＝2＋1，a4－a3＝3＋1，…，an－an－1＝(n－1)＋1，以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，把a1＝1代入上式得，an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，＝＝2，＋＋则…＋＋＝2＝2＝．(6)已知数列{4n－2n}(n∈N*)的前n项和为Sn，bn＝，列则数{bn}的前n项和Tn＝________．答案解析Sn＝×(22n－1)－2×(2n－1)＝×[2(2n＋1)(2n－1)－3×(2n－1)]＝×(2n＋1－1)(2n－1)．所以bn＝＝×＝．所以Tn＝i＝＝＝．(7)已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝，则b1＋b2＋…＋bn＝________．答案－解析由an＝2·3n－1可知数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＝＝3n－1，则bn＝＝＝－，则b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝－.【对点精练】1．若数列的前n项和为，则n的值为()A．9B．10C．11D．121．答案B解析 ＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝，由＝可知n＝10．故选B．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列{}的前10和项为()A．B．C．D．2．答案B解析设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝．选B．3．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，列则数{bn}的前n项和为________．3．答案解析因为an＝＝，所以bn＝＝8．所以b1＋b2＋…＋bn＝8＝．4．已知数列{an}满足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝an·an＋1，则数列{bn}的前2017项的和S2017＝________．4．答案解析由an＋1＝an(1－2an＋1)，可得－＝2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，故＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝．又bn＝an·an＋1＝＝，所以S2017＝＝×＝．5．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和为()A．B．C．D...