小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题17数列不等式的证明数列不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．常见的放缩类型及方法(1)分式型：①＜＝；②－＜＜－；(2)根式型：①2(－)＜＜2(－)；②＜＜；③＞＝2(－)．(3)分数型：＞(b＞a＞0，m＞0)，＜(a＞b＞0，m＞0)；(4)基本不等式型：＋＞2＝2；(5)二项式定理型：2n－1≥2n＋1(n≥3)．注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑．对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式．在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向．放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向，朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）．考点一先求和(裂项相消法)再放缩【基本题型】[例1]设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5．(1)求{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn≤．解析(1)由a1＝9，a2为整数可知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0，于是9＋4d≥0，9＋5d≤0，解得－≤d≤－． d为整数，∴d＝－2．故{an}的通项公式为an＝11－2n．(2)由(1)，得＝＝，∴Tn＝＋＋…＋＝．令bn＝，由函数f(x)＝的图象关于点(4.5，0)对称及其单调性，知0<b1<b2<b3<b4，b5<b6<b7<…<0，∴bn≤b4＝1．∴Tn≤×＝．[例2]在等比数列{an}中，首项a1＝8，数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，又设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<．解析(1)由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝15，得log2(a1a2a3)＝15，∴a1a2a3＝215，等比列设数{an}的公比为q， a1＝8，∴an＝8qn－1，∴8·8q·8q2＝215，解得q＝4，∴an＝8·4n－1，即an＝22n＋1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝2n＋1，易知{bn}等差列，为数小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comSn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n，＝＝，则Tn＝＝，∴Tn<．[例3]已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<．解析(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意得1＋d＝1＋q，q2＝2(1＋2d)－6，解得d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2n－1．(2)因为cn＝＝＝，所以Tn＝＝＝－，因为>0，所以Tn<．又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增，所以当n＝1时，Tn取最小值T1＝，所以≤Tn<．[例4]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－1)，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝log2an，记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<．解析(1)当n＝1时，有a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝4．当n≥2时，有Sn－1＝(an－1－1)，则an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理得＝4，∴数列{an}是以q＝4为公比，以a1＝4为首项的等比数列．∴an＝4×4n－1＝4n(n∈N*)即数列{an}的通项公式为an＝4n(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝log2an＝log24n＝2n，则＝＝∴Tn＝＝<．[例5]已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<．解析(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，－＝2，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，＝＋(n－1)·2＝2n－1，所以Sn＝．S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝＋＋＋…＋＝×＝×<．[例6]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1．解析(1)因为2Sn＝(n＋1)an，所以2Sn－1＝nan－1(n≥2)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1(n≥2)，即(n－1)an＝nan－1(n≥2)，所以当n≥2时，＝，所以＝．因为a1＝2...