专题17数列不等式的证明数列不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．常见的放缩类型及方法(1)分式型：①＜＝；②－＜＜－；(2)根式型：①2(－)＜＜2(－)；②＜＜；③＞＝2(－)．(3)分数型：＞(b＞a＞0，m＞0)，＜(a＞b＞0，m＞0)；(4)基本不等式型：＋＞2＝2；(5)二项式定理型：2n－1≥2n＋1(n≥3)．注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑．对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式．在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向．放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向，朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）．考点一先求和(裂项相消法)再放缩【基本题型】[例1]设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5．(1)求{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn≤．[例2]在等比数列{an}中，首项a1＝8，数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，又设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<．[例3]已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<．[例4]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－1)，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝log2an，记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<．[例5]已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<．[例6]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例7](2020·浙江)已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝cn，n∈N*．(1)若{bn}为等比数列，公比q＞0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，公差d＞0，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜1＋，n∈N*．[例8]数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证：an＋1<an；(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn<1．[例9]已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＋2an＝4Sn－1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．[例10]设数列{an}的前n项的和Sn＝an－×2n＋1＋(n＝1，2，…)．(1)求首项a1与通项an；(2)设Tn＝(n＝1，2，…)，证明：i＜．[例11]已知数列{an}为单调递增数列，Sn为其前n项和，2Sn＝a＋n．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn<．【对点精练】1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a2＝3，S5＝25．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<1．2．已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝0，其前n项和为Sn，且a2＋2，S3，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn－2n<．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)令bn＝，设数列的前n项和为Sn，求证：Sn<．4．数列{an}的前n项和记为Sn，且4Sn＝5an－5，数列{bn}满足bn＝log5an．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明Tn<1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋log2(an)2，求证：数列的前n项和Tn<．6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋．(1)求数列{an}的通项公式；...