小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题八多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解析(1)在△ADC中， cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝＝＝＝，则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B＝×－×＝．(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcosB＝82＋52－2×8×5×＝49，即AC＝7．[例2](2020·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝，B＝45°．(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．解析(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×cos45°＝5，所以b＝．在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝．(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC角．为钝而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C角．故为锐cosC＝＝，则tanC＝＝．因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，所以tan∠ADC＝＝－．而从tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com＝－＝－＝．[例3](2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC．解析(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝．由意知，题∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝＝．(2)由意及题(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5．[例4]如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1．(1)若AC＝，求△ABC的面积；(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD．解析(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝．(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，①在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，由正弦定理得＝，即＝，②①②式相除，得＝，即两4＝sinθ，整理得sinθ＝2cosθ．又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝，即sin∠CAD＝．[例5]如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝，点D在线段BC上．(1)若∠ADC＝，求AD的长．(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的．值解析(1)在△ABC中， cosB＝，∴sinB＝． ∠ADC＝，∴∠ADB＝．在△ABD中，由正弦定理可得＝，∴AD＝．(2) BD＝2DC，△ACD的面，积为∴S△ABC＝3S△ACD，则4＝×2×BC×，∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得AC＝＝4．由正弦定理可得＝，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．又 ＝，∴sin∠CAD＝sin∠ADC． sin∠ADB＝sin∠ADC，∴＝4．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．解析(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcos∠PBA＝3＋－2××cos30°＝．故PA＝．(2)设∠PBA＝α，由已知得＝cos，即PB＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得＝，化得简cosα＝4sinα．所以tanα＝，即tan∠PBA＝．2．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3...