小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题二三角形的三线两圆及面积问题一．中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在中，为中点，则．证明在中，，在中，．．另外已知两边及其夹角也可表述为：．证明由，⇒，．二．角平分线角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则．证法1在中，，在中，，．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即．三．高高的性质：分别为边上的高，则求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com四．外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R＝＝＝．外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接半圆径)．五．内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC切半内圆径)，并可由此计算r．考点一三角形的三线两圆问题【例题选讲】[例1](1)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A．B．C．D．答案B解析设AB＝a，由则AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(舍去负值)．∴BC上的高边为AB·sinB＝3×＝．(2)在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________．答案9解析如所示，延图长AD到E，使DE＝AD，接连BE，EC．因为AD是BC上的中边线，所以AE与BC互相平分，所以四形边ACEB是平行四形，所以边BE＝AC＝7．又AB＝4，AE＝2AD＝7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE．在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)，∴49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2(16＋49)，∴BC2＝81，∴BC＝9．(3)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．答案解析如，在图△ABD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠ADB＝.由意知题0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°．∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝．(4)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanC＝，a＝b＝，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答案解析因为tanC＝，所以sinC＝，cosC＝，又a＝b＝，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝13＋13－2×××＝16，所以c＝4．由＝，得＝，解得sin∠BAC＝．因为BC上的中点边为D，所以CD＝，所以在△ACD中，AD2＝b2＋2－2×b××cosC＝，所以AD＝．(5)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高，且线长为btanA＝(2c－b)tanB，则bc的值为________．答案8解析因为btanA＝(2c－b)tanB，所以＝－1，所以1＋＝，根据正弦定理，得1＋＝，即＝．因为sin(A＋B)＝sinC≠0，sinB≠0，所以cosA＝，所以A＝．设BC上的中边线为AM，则AM＝2，因为M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)，即AM2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)，所以c2＋b2＋bc＝32①．设BC上的高边线为AH，由S△ABC＝AH·BC＝bc·sinA，得bc＝，即bc＝2a②，根据余弦定理，得a2＝c2＋b2－bc③，立联①②③得2＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)．(6)已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案解析不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得cosA＝＝＝，∴sinA＝＝．由(a＋b＋c)r＝bcsinA，得r＝．∴S切内圆＝πr2＝．(7)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为()A．4πB．2πC．πD．答案D解析由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccosA，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccosA，又S＝bcsinA，4S＝b2＋c2－1，所以4×bcsinA＝2bccosA，即sinA＝cosA，所以A＝，由正弦定理得，＝2R，得R＝，所以△ABC外接的面．圆积为(8)设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R，且sinA∶s...