第1页|共17页2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，，则【】A．,B．,C.,D.,2．对于非零向量“”是“”的【】A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【】A．B．C.D.4．如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和,则【】A．B．C．D．5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【】A．85B．56C．49D．286．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【】A．B．C．D．2log0a<1()12b>1a>0b>1a>0b<01a<<0b>01a<<0b<,,abrr0ab+=rrr//abrrsinyx=(02)jjp£<sin()6yxp=-j6p56p76p116p12,lll=(0)1xyxxl=³+1C2C120ll<<210ll<<120ll<<210ll<<20,30xyxy-³ìí+³î224xy+=4p2p34p32p图1c2c1oyx第2页|共17页C1D1B1A1DCBA7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【】A．2B．3C．4D．58．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【】A．K的最大值为2B．K的最小值为2C．K的最大值为1D．K的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___.10．在的展开式中，的系数为___(用数字作答).11．若，则的最小值为.12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为。14．在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为.15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有，，…，.1111ABCDABCD-1C()yfx=(,)-¥+¥(),(),(),().KfxfxKfxKfxK£ì=í>î()fx=2xxe---(,)xÎ-¥+¥()Kfx=()fx3333(1)(1)(1)xxx+++++x(0,)2xpÎ2tantan()2xxp+-60o128ABCD2*(2,)nnnN³Î()fn(2)2f=(3)f=()fn=第3页|共17页三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在中，已知，求角A，B，C的大小17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。18．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且（I）证明：平面平面；（II）求直线和平面所成角的正弦值。19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。BACABC图3图2ABCD2233ABACABACBC×=×=uuuruuuruuuruuuruuur121316xx111ABCABC-12ABAA=11AB11ACDEAE^ADE^11ACCAADABCmx(2)xx+yABCDA1B1C1E第4页|共17页（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之...