第1页|共5页2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设集合，则（）A．B．C．D．2．已知向量，如果，那么A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向3．若为有理数），则（）A．33B．29C．23D．194．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度21{|2},{1}2AxxBxx=-<<=£AB=U{12}xx-£<1{|1}2xx-<£{|2}xx<{|12}xx£<(1,0),(0,1),(),abckabkRdab===+Î=-//cd1k=cd1k=cd1k=-cd1k=-cd4(12)2(,abab+=+ab+=3lg10xy+=lgyx=第2页|共5页D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．1206．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为()A．B．1C．D．8．设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域第Ⅱ卷（110分）注意事项：1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。三题号二151617181920总分分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。9．若，则.10．若数列满足：，则；前8项的和6pa=1cos22a=1111ABCDABCD-1AB11AC3323123PPPD0P123PPPD0{|,||||,1,2,3}iSPPDPPPPi=Σ=4sin,tan05qq=->cosq={}na111,2()nnaaanN*+==Î5a=8S=第3页|共5页.（用数字作答）11．若实数满足则的最大值为.12．已知函数若，则.14．设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共12分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.16．（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.,xy20,4,5,xyxx+-³ìï£íï£îsxy=+3,1,(),1,xxfxxxì£=í->î()2fx=x=kAÎ1kA-Ï1kA+Ïk{1,2,3,4,5,6,7,8,}S=()2sin()cosfxxxp=-()fx()fx,62ppéù-êúëûPABCD-PDABCD^底面AECPDB^平面2PDAB=第4页|共5页17．（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率18．（本小题共14分）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.19．（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆133()3(0)fxxaxba=-+¹()yfx=(2,(2))f8y=,ab()fx2222:1(0,0)xyCabab-=>>333x=0xym-+=第5页|共5页上，求m的值20．（本小题共13分）设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.225xy+={}na(,0)napnqnNP*=+Î>{}nbmbnam³11,23pq==-3b2,1pq==-{}mb32()mbmmN*=+Î