专题十内切球模型【方法总结】以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝＝．秒杀公式(万能公式)：r＝【例题选讲】[例](1)已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为________．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()A．4πB．16πC．36πD．(4)已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度的最大值为463，则这个四面体的棱长为________．【对点训练】1．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.2．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()A．B．C．D．3．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()A．6B．5C．D．4．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为()A．πB．2πC．3πD．4π5．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.6．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．7．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是()A．4B．6C．12D．248．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥MABCD为阳马，侧棱MA底面ABCD，且2MABCAB，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为________．9．在三棱锥SABC中，6AB，8BC，10AC，二面角SABC、SACB、SBCA的大小均为4，设三棱锥SABC的外接球球心为O，直线SO交平面ABC于点M，则三棱锥SABC的内切球半径为________．SOOM________．10．已知直三棱柱11ABCABC中，2ACBC，ACBC，设二面角1CABC的平面角为，且tan2，现在该三棱柱的内部空间放一个小球1O，设小球1O的表面积为1S，三棱柱的外接球2O的小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com表面积为2S，则12SS的最大值为_______扫码关注学科网数学服务号，获取优质数学教育资源↓↓↓小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com_．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com
