小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第42讲等比数列及其前n项和知识梳理知识点一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．知识点二．等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com知识点三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．②设与为等比数列，则也为等比数列．（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．当或时，为递增数列；当或时，为递减数列．（4）其他衍生等比数列．若已知等比数列，公比为，前项和为，则：①等间距抽取为等比数列，公比为．②等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．【解题方法总结】（1）若，则．（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．（5）为等比数列，若，则成等比数列．（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．（8）若为正项等比数列，则为等差数列．（9）若为等差数列，则为等比数列．（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．必考题型全归纳题型一：等比数列的基本运算例1．（2024·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则等于（）A．9B．72C．9或70D．9或例2．（2024·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（）A．2B．4C．6D．8例3．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，则（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．变式1．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在等比数列中，若，，则公比q应为（）A．B．C．D．－2变式2．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（）A．B．C．15D．40变式3．（2024·全国·高三对口高考）已知数列是等比数列，，则该数列的以及依次为（）A．682，B．，C．682，或D．，或变式4．（2024·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（）A．64B．81C．128D．192变式5．（2024·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前4项和为，，则（）A．B．C．1D．2【解题方法总结】等比数列基本量运算的解题策略小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：当时，；当时，．题型二：等比数列的判定与证明例4．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容...