2021年上海市春季高考数学试卷2021.01一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1-8未收集到9.在无穷等比数列{}na中，1lim()4nnaa，则2a的取值范围是【解析】(4,0)(0,4)，由题意，(1,0)(0,1)q，∴lim0nna，∴11lim()4nnaaa，∴214aaqq(4,0)(0,4)10.某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【解析】23，由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合是不符题意的，∴54325555323CCCC11.已知椭圆2221yxb（01b）的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物线的准线方程是【解析】12x，设1(,0)Fc，2(,0)Fc，则抛物线24ycx，直线1:PFyxc，联立24ycxyxc，∴(,2)Pcc，∴212PFFF，2122PFFFc，122PFc，∴12(222)2221PFPFcac，即准线方程为12xc12.已知0，对任意*nN，总存在实数，使得3cos()2n，则的最小值是【解析】25，在单位圆中分析，由题意，n的终边要落在图中阴影部分区域（其中6AOxBOx），∴3AOB， 对任意*nN要成立，∴*2N，即2k，*kN，同时3，∴的最小值为25二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13-14未收集到15.已知函数()yfx的定义域为R，下列是()fx无最大值的充分条件是（）A.()fx为偶函数且关于直线1x对称B.()fx为偶函数且关于点(1,1)对称C.()fx为奇函数且关于直线1x对称D.()fx为奇函数且关于点(1,1)对称【解析】选D，反例如图所示.选项D，易得()fnn，nZ16.在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得0ABCE；②存在三角形△ABC，使得CE∥()CBCA；成立的是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立【解析】选B，不妨设(2,2)Axy，(1,0)B，(1,0)C，(0,0)D，(,)Exy，①(12,2)ABxy，(1,)CExy，若0ABCE，∴2(21)(1)20xxy，∴2(21)(1)2xxy，满足条件的(,)xy明显存在，∴①成立；②F为AB中点，()2CBCACF，CF与AD交点即重心G， G为AD三等分点，E为AD中点，∴CE与CG不共线，即②不成立；故选B三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD.（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PD与AC所成角的大小.【解析】（1） 正方形ABCD边长为4，△PAB为等边三角形，E为AB中点，∴23PE，2132342333PABCDV；（2）如图建系，(0,0,4)P，(2,4,0)D，(2,0,0)A，(2,4,0)C，∴(2,4,4)PD，(4,4,0)AC，∴82cos6642||||PDACPDAC，即PD与AC所成角的大小为2arccos618.已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a，1cos4C.（1）若sin2sinAB，求b、c；（2）4cos()45A，求c.【解析】（1）sin2sin2ABab，∴1b，222211cos62214cCc；（2）472cos()cos4510AA，∴2sin10A， 115cossin44CC，由正弦定理，2530sinsin2ccAC19.（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30QAQB千米，||||10QCQD千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（...
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