小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题8利用勾股定理解决折叠问题的技巧（解析版）类型一利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．（2021秋•台儿庄区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为．思路引领：设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得62+x2＝（8﹣x）2，即可解得答案．解：设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，∴62+x2＝（8﹣x）2，解得x¿74，故答案为：74．总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为cm．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE＝AB，已知AC的长，可将CE的长求出．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解：在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB¿❑√AC2+BC2=¿10cm，根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm， AC＝8cm，∴CE＝AE﹣AC＝2cm，即CE的长为2cm，故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE¿12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF¿12∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC¿❑√41，设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）241﹣，求得x¿165，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE¿12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF¿12∠BCB'，又 ∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCB'＝90°，∴∠ECD+∠FCD¿12×90°＝45°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，∴∠EFC＝45°＝∠ECF，∴CE＝EF＝4，∴BE＝4+1＝5，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC¿❑√BE2+CE2=❑√52+42=❑√41，设AE＝x，则AB＝x+5， Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）241﹣，解得：x¿165，∴AE¿165，AB＝AE+BE¿165+¿5¿415∴S△ABC¿12AB×CE¿12×415×4¿825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．（1）若∠A＝34°，则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0），△ABC的面积为2m+4时，△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8，BC＝6，求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°，进而得到∠CBD＝22°；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4，进而得到AC•BC＝4m+8，再在Rt△CAB中，CA2+CB2＝BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长．解：（1） 把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠ABD＝∠A＝34°， ∠C＝90°，∴∠ABC＝180°90°34°﹣﹣＝56°，∴∠CBD＝56°34°﹣＝22°，故答案为：22°；（2） △ABC的面积为2m+4，∴12AC•BC＝2m+4，∴AC•BC＝4m+8， 在Rt△CAB中，CA2...